分段函数几种常见题型及解法.doc

PAGE PAGE 1 复习教案： 分段函数的几种常见 题型及解法 数学组 分段函数的几种常见题型及解法 【关键词】 分段函数; 定义域; 值域或最值; 函数值; 解析式; 图像; 反函数; 奇偶性; 方程; 不等式. 分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数.它是一类表达形式特殊的函数,是中学数学中的一种重要函数模型。分段函数有关问题蕴含着分类讨论、数形结合等思想方法. 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 对于分段函数类型的求解不少同学感到困难较多， 笔者就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下： 求分段函数的定义域和值域 分段函数的定义域为每一段函数定义域的并集,在表示每一段函数中x的取值范围时,要确保做到定义域不重不漏,即交集为空集, 并集为整个定义域.值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。 例1求函数的定义域和值域 例1．求函数的定义域、值域. 【解析】 作图, 利用“数形结合”易知的定义域为, 值域为. 例5．求函数的值域。 　　解：因为当x≥0时，x2+1≥1；当x0时，-x20。 　　所以，原函数的值域是[1,+∞)∪(-∞,0)。 　　注：分段函数的值域求解，只要分别求出各部分的值域，再取其并集即可。  求分段函数的函数值 在求分段函数的值时，一定首先要判断属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式 例1、（辽宁理）设则__________ 2、（2006山东）设则 A.0 B.1 C.2 D.3 3、 已知 EQ \B\LC\{(\A\AL( －log3(x + 1)(x6), 3x－6(x≤6))) ，若记为的反函数，且则 . 4 、设 则 ( ） A. B. C. D. 5、 已知则的值为 . 4．（05年浙江理）已知函数求. 【解析】 因为, 所以.  　　例1 已知函数 　　求f{f[f(a)]} (a0)的值。　　分析　 求此函数值关键是由内到外逐一求值，即由 　　a0, f(a)=2a，又02a1, , 　　, 　　所以，。 　　注：求分段函数值的关键是根据自变量的取值代入相应的函数段．  3．求分段函数的最值 例3．求函数的最大值. 【解析】当时, , 当时, , 当时, , 综上有. 例4．设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R,　 求f(x)的最小值。 　　分析：因为原函数可化为 　　 　　所以，只要分别求出其最小值，再取两者较小者即可。 　　解：当xa时，函数f(x)=x2-x+a+1, 　　所以若，则函数f(x)在(-∞,a]上单调递减，从而f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(a)=a2+1。 　　若，则函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为，且； 　　当x≥a时，函数； 　　若，则函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为，且。 　　若，则函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为f(a)=a2+1。 　　综上，当时，函数f(x)的最小值是； 　　当时，函数f(x)的最小值是a2+1；　　当时，函数f(x)的最小值是。 (2005上海高考题)对定义域分别是的函数.规定： 函数 （ = 1 \* ROMAN I）若函数，写出函数的解析式； （ = 2 \* ROMAN II）求问题（ = 1 \* ROMAN I）中函数的最大值； 　　注：分段函数的最值求解的方法是先分别求出各段函数的最值，再进行大小比较，从而达到求解的目的。  4．求分段函数的解析式 例4．在同一平面直角坐标系中, 函数和的图象关于直线对称, 现将的图象沿轴向左平移2个单位, 再沿轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数的表达式为（ ） 【解析】 当时, , 将其图象沿轴向右平移2个单位, 再沿轴向下平移1个单位, 得解析式为, 所以, 当时, , 将其图象沿轴向右平移2个单位, 再沿轴向下平移1个单位, 得解析式, 所以, 综上可得, 故选A. 5．作分段函数的图像 例5．函数的图像大致是（ ） 　例9．已知函数f(x)=|x2-2x-3|的图象与直线y=a有且仅有3个交点，求a的值。 　　解：∵