固体物理第15讲、布洛赫定理.ppt

* * 第十五讲 布洛赫定理 第四章 能带理论 能带理论 —— 研究固体中电子运动的主要理论基础 能带理论 —— 定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点 —— 晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距 —— 能带论提供了分析半导体理论问题的基础，推动了半导体技术的发展 —— 随着计算机技术的发展，能带理论的研究从定性的普遍性规律发展到对具体材料复杂能带结构的计算 —— 说明了导体、非导体的区别 能带理论是单电子近似的理论 —— 把每个电子的运动看成是独立的、在一个等效势场中的运动 单电子近似 —— 最早用于研究多电子原子__ 哈特里－福克自洽场方法： ——每个电子看做是在其他所有电子构成的平均势场中运动的粒子(哈特里思想)，将体系电子哈密顿算符分解为若干个单电子哈密顿算符的简单加和，每个单电子哈密顿算符中只包含一个电子的坐标，因而体系多电子波函数可以表示为单电子波函数的简单乘积(福克做法)。 能带理论的出发点 —— 固体中的电子不再束缚于个别的原子，而是在整个固体内运动 ___ 共有化电子 共有化电子的运动状态 —— 假定原子实处在其平衡位置，把原子实偏离平衡位置的影响看成微扰 理想晶体 —— 晶格具有周期性，等效势场V(r)具有周期性 晶体中的电子在晶格周期性的等效势场中运动 薛定谔方程为： 晶格周期性势场 任意晶格矢量。 一维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理 ? 第一步简化 —— 绝热近似：离子实质量比电子大，离子运动速度慢，讨论电子问题，认为离子是固定在瞬时位置上 ? 第二步简化 —— 利用哈特里一福克自治场方法，多电子问题简化为单电子问题，每个电子是在固定的离子势场以及其它电子的平均场中运动 ? 第三步简化 —— 所有离子势场和其它电子的平均场是周期性势场 三维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理 ? 能量本征值的计算 —— 选取某个具有布洛赫函数形式的完全集合，晶体电子态的波函数按此函数集合展开 ? 电子波函数的计算 —— 根据每个本征值确定电子波函数展开式中的系数，得到具体的波函数 —— 将电子的波函数代入薛定谔方程，确定展开式的系数所满足的久期方程，求解久期方程得到能量本征值 §4.1 布洛赫定理 —— 方程的解具有以下性质 —— 布洛赫定理 为一矢量 —— 当平移晶格矢量 —— 波函数只增加了位相因子 布洛赫定理 —— 势场 具有晶格周期性时，电子的波函数满足薛定谔方程 布洛赫定理 电子的波函数 —— 布洛赫函数 晶格周期性函数 —— 布洛赫函数是平面波与周期函数的乘积。 ? 布洛赫定理的证明 —— 引入平移算符，证明平移算符与哈密顿算符对易，两者 具有相同的本征函数 —— 利用周期性边界条件确定平移算符的本征值，最后给出 电子波函数的形式 —— 势场的周期性反映了晶格的平移对称性 晶格平移任意矢量 势场不变 —— 在晶体中引入描述这些平移对称操作的算符 平移任意晶格矢量 对应的平移算符 作用于任意函数 —— ? 平移算符作用于周期性势场 ? 平移算符 的性质 ? 各平移算符之间对易 对于任意函数 ? 平移算符和哈密顿量对易 对于任意函数 和 微分结果一样 平移算符的本征值 三个方向 上的原胞数目 引入周期性边界条件 —— T 和 H 存在对易关系，选取H的本征函数，使它同时 成为各平移算符的本征函数 总的原胞数 对于 对于 对于 —— 整数 —— 引入矢量 —— 倒格子基矢 满足 平移算符的本征值 将 作用于电子波函数 * * *