2020-2021上海中考数学压轴题专题复习——相似的综合.pdf

2020-2021上海中考数学压轴题专题复习——相似的综合 一、相似 2 1．已知直线y=kx+b 与抛物线y=ax （a＞0）相交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与 y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D． （1）若∠AOB=60°，AB∥x轴，AB=2，求a 的值； （2）若∠AOB=90°，点A 的横坐标为﹣4，AC=4BC，求点B的坐标； （3）延长AD、BO相交于点E，求证：DE=CO． 【答案】（1）解：如图1， ∵抛物线y=ax2 的对称轴是y轴，且AB∥x轴， ∴A与B是对称点，O是抛物线的顶点， ∴OA=OB， ∵∠AOB=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∵AB=2，AB⊥OC， ∴AC=BC=1，∠ BOC=30°， ∴OC= ， ∴A （-1， ）， 2 把A （-1， ）代入抛物线y=ax （a＞0）中得：a= ； （2）解：如图2，过B作BE⊥x轴于E，过A作AG⊥BE，交BE延长线于点G，交y轴于 F， ∵CF ∥BG， ∴ ， ∵AC=4BC， ∴ =4 ， ∴AF=4FG， ∵A 的横坐标为-4， ∴B 的横坐标为1， ∴A （-4，16a），B （1，a ）， ∵∠AOB=90°， ∴∠AOD+∠BOE=90°， ∵∠AOD+∠DAO=90°， ∴∠ BOE=∠ DAO， ∵∠ADO=∠OEB=90°， ∴△ADO ∽△ OEB， ∴ ， ∴ ， ∴16a2 =4， a=± ， ∵a ＞0 ， ∴a= ； ∴B （1， ）； （3 ）解：如图3， 设AC=nBC， 由（2 ）同理可知：A 的横坐标是B 的横坐标的n 倍， 2 2 2 则设B （m，am ），则A （-mn，am n ）， ∴AD=am2n2 ， 过B 作BF⊥x 轴于F， ∴DE ∥BF， ∴△ BOF∽△ EOD， ∴ ， ∴ ， ∴ ，DE=am2n， ∴ ， ∵OC ∥AE ， ∴△ BCO∽△ BAE， ∴ ， ∴ ， ∴CO= =am2n， ∴DE=CO． 【解析】【分析】（1）抛物线y=ax2 关于 y 轴对称，根据AB ∥x 轴，得出A 与 B 是对称 点，可知 AC=BC=1 ，由∠AOB=60° ，可证得△AOB 是等边三角形，利用解直角三角形求出 OC 的长，就可得出点A 的坐标，利用待定系数法就可求出a 的值。 （2 ）过B 作BE⊥x 轴于E，过A 作AG ⊥BE，交BE 延长线于点G，交y 轴于F，根据平行 线分线段成比例证出AF=4FG，根据点A 的横坐标为﹣4 ，求出点B 的横坐标为1，则A （- 4 ，16a ），B （1 ，a ），再根据已知证明∠ BOE=∠DAO ，∠ADO=∠OEB ，就可证明 △ADO ∽△ OEB，得出对应边成比例，建立关于 a 的方程求解，再根据点 B 在第一象限， 确定点B 的坐标即可。 2 （3 ）根据（2 ）可知A 的横坐标是B 的横坐标的n 倍，则设B （m，am ），则A （-mn， 2 2 am n ），得出 AD 的长，再证明△BOF∽△ EOD，△BCO∽△ BAE，得对应边成比例，证得 2 CO=am n，就可证得DE=CO。 2 ．如图 1，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=8cm，E、