2014届高三二轮专题突破-分类讨论思想.doc

第3讲　分类讨论思想 1． 分类讨论思想是一种重要的数学思想方法．其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度． 2． 分类讨论的常见类型 (1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等． (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等． (3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等． (4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等． (5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法． (6)由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用． 3． 分类讨论的原则 (1)不重不漏． (2)标准要统一，层次要分明． (3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论． 4． 解分类问题的步骤 (1)确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论． (2)对所讨论的对象进行合理的分类． (3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决． (4)归纳总结：将各类情况总结归纳. 类型一　由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论 例1　(1)若函数f(x)＝ax(a0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________. (2)已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________． 答案　(1)　(2)－ 解析　(1)讨论字母的取值，从而确定函数的最大值与最小值． 若a1，有a2＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝，此时g(x)＝－为减函数，不合题意．若0a1，有a－1＝4，a2＝m， 故a＝，m＝，检验知符合题意． (2)当a0时，1－a1,1＋a1. 这时f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a， f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a. 由f(1－a)＝f(1＋a)得2－a＝－1－3a，解得a＝－. 不合题意，舍去． 当a0时，1－a1,1＋a1， 这时f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a， f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a. 由f(1－a)＝f(1＋a)得－1－a＝2＋3a，解得a＝－. 综上可知，a的值为－. 应用指数、对数函数时往往对底数是否大于1进行讨论，这是由它的性质决定的．处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪个区间段，再选取相应的对应法则，离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之一． 已知数列{an}的前n项和Sn＝pn－1(p是常数)，则数列{an}是(　　) A．等差数列 B．等比数列 C．等差数列或等比数列 D．以上都不对 答案　D 解析　∵Sn＝pn－1， ∴a1＝p－1，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)pn－1(n≥2)， 当p≠1，且p≠0时，{an}是等比数列； 当p＝1时，{an}是等差数列． 当p＝0时，a1＝－1，an＝0(n≥2)， 此时{an}既不是等差数列也不是等比数列． 类型二　由元素的位置、图形的形状变化引起的分类讨论 例2　已知m∈R，求函数f(x)＝(4－3m)x2－2x＋m在区间[0,1]上的最大值． 解　①当4－3m＝0，即m＝时，函数y＝－2x＋， 它在[0,1]上是减函数，所以ymax＝f(0)＝. ②当4－3m≠0，即m≠时，y是二次函数． 当4－3m0，即m时，二次函数y的图象开口向上，对称轴方程x＝0，它在[0,1]上的最大值只能在区间端点取得(由于此处不涉及最小值，故不需讨论区间与对称轴的关系)． f(0)＝m，f(1)＝2－2m， 当m≥2－2m，又m，即≤m时，ymax＝m. 当m2－2m，又m，即m时，ymax＝2(1－m)． 当4－3m0，即m时，二次函数y的图象开口向下，又它的对称轴方程x＝0，所以函数y在[0,1]上是减函数，于是ymax＝f(0)＝m. 由①、②可知，这个函数的最大值为 ymax＝ 求解有关几何问题中，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，所以需要根据图形的特征进行分类讨论． 一般由图形的