1.4数列在日常经济生活中的应用(北师大版必修五)研究.ppt

要在一段公路上每隔100米竖一块路程牌，共需竖60块路程牌，并依次将它们编号为1,2,3，…，60，为完成竖牌的任务，要求先用一辆汽车把60块路程牌全部集中到n(1≤n≤60， n∈N＋)号牌处，再由一个工人从n号牌处出发，用自行车每次运一块路程牌到规定地点竖牌，n应取多少时，才能使工人竖牌时所行的路程最少？最少路程是多少？ [错解] 找不到解决问题的思路． 误区警示　找不到应用题对应的数列模型而致错 【示例】 树立解应用题的自信心，应用所学知识进行解决．本例运用数列的知识求出从n号到每一号所行路程，它们分别组成两个等差数列，之后运用等差数列前n项和公式求出所行的路程，再用二次函数的有关知识计算出最少路程． [正解] 路程牌集中到n号牌处时，该工人所行路程为Sn＝2×100×(n－1)＋2×100×(n－2)＋…＋2×100×1＋2×100×1＋2×100×2＋…＋2×100×(60－n) ＝200[1＋2＋…＋(n－1)＋1＋2＋…＋(60－n)] 因为n∈N＋，所以当n＝30或n＝31时，(Sn)最小＝200(302－61×30＋1 830)＝180 000(米)． 即n取30或31时，才能使工人竖牌时所行的路程最少，最少路程是180 000米． 一般地，解决数列的实际应用问题首先要读懂题意，分析题中条件，理顺其中的数量关系；其次要将文字语言转化为数字语言，建立数列模型(建立模型时注意运用推理、归纳等方法)；然后求解数列模型，得出相关结论；最后将结论还原到实际问题中．  §4　数列在日常经济生活中的应用 自学导引 试一试：什么情况下建立数列模型？ 提示　根据解题经验，当应用问题中的变量的取值范围是正整数时，该问题通常是数列问题，这时常常建立数列模型来解决．例如存款、贷款、购物(房、车)分期付款、保险、资产折旧等问题都属于数列问题模型． 有关储蓄的计算 储蓄与人们的日常生活密切相关，计算储蓄所得利息的基本公式是：利息＝本金×存期×利率． 根据国家规定，个人取得储蓄存款利息，应依法纳税，计算公式为：应纳税额＝利息全额×税率． (1)整存整取定期储蓄 一次存入本金金额为A，存期为n，每期利率为p，税率为q，则到期时，所得利息为：_____，应纳税为______，实际取出金额为：_____________. 2． nAp nApq nAp(1－q)＋A 想一想：单利和复利分别与等差数列和等比数列中的哪一种数列对应？ 提示　单利和复利分别以等差数列和等比数列为模型，即单利的实质是等差数列，复利的实质是等比数列． 解答数列应用题的基本步骤 (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意． (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征，要求什么． (3)求解——求出该问题的数学解． (4)还原——将所求结果还原到原实际问题中． 具体解题步骤为下框图： 名师点睛 1． 数列应用问题的常见模型 (1)等差模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定的具体量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差，其一般形式是：an＋1－an＝d(常数)． 例如：银行储蓄单利公式 利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝a(1＋xr)． 2． 例如：①银行储蓄复利公式 按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝a(1＋r)x. ②产值模型 原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值y＝N(1＋p)x. (3)混合模型：在一个问题中，同时涉及到等差数列和等比数列的模型． (4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加(或减少)，同时又以一个固定的具体量增加(或减少)，称该模型为生长模型，如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等． 题型一　等差数列模型(单利问题) 用分期付款购买价格为25万元的住房一套，如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息．签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后为止．商定年利率为10%，则第5年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？ [思路探索] 先将实际问题转化为数学问题，这是一个等差数列问题，用等差数列来解决． 【例1】 解　购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还清，每次付款数组成数列{an}， 则a1＝2＋(25－5)·10%＝4(万元)； a2＝2＋(25－5－2)·10%＝3.8(万元)； a3＝2＋(25－5－2×2)·10%＝3.6(万元)； …； 31＋5＝36(万元)，因此第5年该付3.2万元，购房款全部付清后实际共付36万元． 规律方法　按单利分期付款的数