09第九章梁的平面弯曲课件.ppt

4. 变形几何关系 考虑梁AA-BB间的微段，oo在中性层上，r为中性层的曲率半径。截面坐标如图。 y z a o 距中性层为y的纵向纤维aa: 变形前： 变形后： A B B A a a o o d? M M y r 横截面上任一点处线应变e的大小与该点到中性层的距离y成正比。 r e / y - = 应变： ( ) r r r r e y d? y aa aa aa l l - = - - = - = D = d? d? 线弹性应力-应变关系： s=Ee=-Ey/r 胡克定理 基于： 纵向纤维受单向拉压； 材料拉压弹性常数相等。则 横截面上各点的正应力s 的大小与该点到中性轴的距离y成正比。 中性轴以上，y0， s为负，是压应力，纤维缩短。 中性轴以下，y0， s为正，是拉应力，纤维伸长。 到中性轴距离相同各处，y=const. ，应力相等。 问题： 中性轴位置 ？ 中性轴上，s=0，截面上、下缘， s =s 。 max M x y z 中性轴 smax压 smax拉 9.3.2 材料的物理关系 微段平衡：截面弯矩 M ?=M， M ?分布在截面上，截面内力与M构成xy 面内的平衡力系。 E、r均不为零，后一积分是截面对z轴的静矩S ， S =0， 表示中性轴z过截面形心(垂直于y)。 z z ； ＝ 即 ， ＝ 0 : 0 = - ò ? ò A A x ydA E dA F r s 即： ； ， ＝ 0 0 = - - ò ? M dA y M A Z s ò = A M dA y E 2 r Iz 为截面对z 轴的惯性矩，取决于截面几何。 令： 则有：1/r=M/EIz ò = A z dA y I 2 M x y z 中性轴 y dA 9.3.3 静力平衡条件 截面对z 轴的惯性矩 I 的计算： z 矩形截面： o z y b h y dy 取微面积如图 dA=bdy o y z d 圆形截面： 取微面积如图。 ( ) 2 2 2 I I dA z y dA I y z A A r r + = + = = ò ò 由对称性知： y z dA ò = A z dA y I 2 12 3 2 2 bh dy b y dA y I h/2 A z = = = ò ò -h/2 64 2 / 4 d I I I z y p r = = = 结论： s=-My/Iz 分析结果汇总： 变形几何关系： e=-y/r 物理关系： s=Ee=-y/r 中性轴上，s=0，截面上、下缘， s =s 。 max 静力平衡条件： 中性轴z过截面形心 ò A ydA=0 Iz--截面对z轴的惯性矩。 EI--截面抗弯刚度。 1/r=M/EIz 梁的曲率 M y x smax压 smax拉 按绝对值计算应力s 的大小，依据弯曲后的拉压情况判断正负。 弯曲正应力公式： 横截面有对称轴的平面弯曲。 载荷作用在纵向对称面内； 梁的高跨比 h/L 0.25； 适用范围： 纯弯曲 横力弯曲 平面弯曲的条件 变形平面假设的条件 M y x smax压 smax拉 M? z I My = s 9.3.4 平面弯曲的最大正应力及强度条件 返回主目录 最大弯曲正应力: y=y 时，s=s ，故 max max W =I /y ，是抗弯截面模量。(如表9-1或手册) z z max 梁的弯曲强度条件： 抗力 作用 处处均应满足强度条件。 若材料拉压性能不同，则 M y x smax压 smax拉 M? z z W M I My = = max max s 例9.9 空心矩形截面梁的横截面尺寸H=120mm， B=60mm，h=80mm，b=30mm，若[?]=120MPa， 试校核梁的强度。 解：1）作FS、M图。 固定端弯矩最大， M =qL /2=14.4 kN·m max 2 2) 抗弯截面模量W z 查表9-1有： W =H [B-b(h/H) ]/6 =1.227 10 m 2 3 -4 3 z 3）强度校核: L=1.2m O q=20kN/m A x qL FS图 x qL /2 2 M图 b H B h z [?]=120MPa 强度足够。 MPa W M z 117 10 227 . 1 10 4 . 14 4 3 max max = ? ? = = - s 例9.1