算数书内容简介.doc

第4章 《算數書》內容簡介 在本章中，我們打算簡介《算數書》的內容。為了方便讀者閱讀起見，我們分成五節來說明。第4.1 節將就解決本書章題所使用到的分數四則運算，作一個詳細的解讀與分析。第4.2 節介紹比例問題及其解法，其中包括了後來由《九章算術》加以系統化的『今有術』（納入第二章『粟米』章）、『衰分術』（納入第三章『衰分』）與『均輸術』（納入第六章）。在第4.3 節中，我們主要說明《算數書》中利用『贏（盈）不足術』來解的三個問題。在第4.4節中，我們將介紹本書中的體積計算問題。至於第4.5節，則是針對本書的『少廣』方法，就它所舉的例題深入討論，以便瞭解何以此一算法會在兩千多年前被算家所凸顯。 由於我們一直希望即使是科普風格與體例的考量，本書也能擁有專業上的『質感』，所以，我們所鋪陳的數學內容絕不打折！然而，由於我們深知『專業』與『自戀』往往是一體兩面，因此，如果讀者覺得本章內容太過沈重，可否從每一節中挑選一兩個喜歡的例題瀏覽一下，看看兩千多年前的『漢人』如何說與做數學就行了。 第4.1 節《算數書》的分數四則運算 正如後來的《九章算術》一樣，《算數書》是一部數學問題集，總共有69個章題。大多數算題由題文、答案與『術曰』（算法或公式）所構成。至於內容呢，則涵蓋了分數的性質與四則運算、各種比例問題、盈不足問題、體積問題與面積問題。綜合起來，本書之內容與《九章算術》前七章（即『方田』、『粟米』、『衰分』、『少廣』、『商功』、『均輸』與『盈不足』）相近，不過，有一些涉及實用的問題，可以追溯到戰國晚期或更早時期，因此，它們在中國社會經濟史的研究上，也具有相當珍貴的參考價值。 現在，我們開始簡略說明《算數書》的內容，先看分數部分。本書第1-10個章題處理分數的四則運算、約分以及分數的擴大與縮小（小括號中的阿拉伯數碼，代表章題編次；另外，『矰』則是『増』的古字）： 加法：『合分』(8)； 減法：『出金』(10)； 乘法：『相乘』(1)、『分乘』(2)、『乘』(3)； 除法：『徑分』(9)； 約分：『約分』(7)； 分數的擴大與縮小：『矰（增）減分』(4)、『分當半者』(5)、『分半者』(6)。 按照現在的『分數』編排順序，照理應該先說明分數的加減，再引入乘除才是。不過，正如我們在第2.2節介紹《孫子算經》所說的，在類似《算數書》與《孫子算經》這樣的算書中，先說明乘除說不定是一種古代通例，而不像現在教科書一樣，先介紹加減法。然而，如果缺乏『擴分』或『約分』的概念，那麼，從運算的觀點來看，分數的加減果然比起乘法要複雜多了。如此說來，在古代這一類算書介紹分數的四則運算時，先引進乘法就再自然不過了。 為了讓讀者方便貼近文本，我們再『依序』引述『合分』、『出金』、『徑分』與『約分』等章題如下（為了不讓本文書寫過份『學究氣』，我們直接抄錄校勘過的文字）： 合分 合分術曰：母相類，子相從；母不相類，可倍、倍，可三、三，可四、四，可五、五，可六、六，七亦輒倍，倍。及三、四、五之如母，母相類者，子相從。其不相類者，母相乘為法，子互乘母并以為實，如法成一。今有五分錢二、六分錢三、十分錢八、十二分錢七、三分錢二為幾何？曰：二錢六十分錢五十七，其術如右方。五人分七錢、少半、半錢，人得一錢卅分錢十七。術曰：下有三分，以一為六，即因而六人以為法，亦六錢以為實。有曰：母乘母為法，子羨乘母為實，實如法而一。其一曰：可十、十，可九、九，可八、八，可七、七，可六、六，可五、五，可四、四，可三、三，可倍、倍，母相類止。母相類，子相從。 所謂『合分』，從字面上看，就可以了解它是將『分數』合在一起的意思，因此，它的確是分數加法。本題提供了四種作『合分』的方法： 法一：母相類，子相從；母不相類，可倍、倍，可三、三，可四、四，可五、五，可六、六，子亦輒倍，倍。及三、四、五之如母，母相類者，子相從。 法二：其不相類者，母相乘為法，子互乘母并以為實，如法成一。 法三：母乘母為法，子羨乘母為實，實如法而一。 法四：可十、十，可九、九，可八、八，可七、七，可六、六，可五、五，可四、四，可三、三，可倍、倍，母相類止。母相類，子相從。 平心而論，這四種方法並不一貫，其中法一與法四較為相似，法二與法三較為相似，所以，很有可能是本題的編者或抄寫員從不同的地方抄來的。在法二與法三之間有兩個例題，其中值得注意的是第二個例題：「五人分七錢、少半、半錢，人得一錢卅分錢十七。曰：下有三分，以一為六，即因而六人以為法，亦六錢以為實。」這個例題無論是在題目的類型或是解法上，都屬「徑分」的內容，特別是解法，與『合分』的算法並不一致（徑分算法見下文），因此，本例題應併入「徑分」一題才是。 在法一中，第一種情況是同分母（『母相類』）時，只要將分子相加即可（『子相從』）。但是，如果分母不同的話，則設法通分