离散数学期末考试试题剖析.doc

离散数学试题(A卷及答案） 一、证明题（10分） 1)((P∧((Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)(R 证明: 左端(((P∧(Q∧R) ∨ ((Q∨P)∧R)((((P∧(Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ((((P ∨ Q) ∧ R)∨(( Q ∨ P )∧ R)(((( P ∨ Q )∨(Q∨P))∧R (((( P ∨ Q )∨( P ∨ Q ))∧ R(T ∧ R(置换)(R 2)(x(A(x)(B(x))( ( x A(x)((x B(x) 证明 ：( x ( A(x) ( B(x))(( x ( (A(x) ∨ B(x))(( x( A(x) ∨ ( x B(x)((( x A(x)∨( x B(x)(( x A(x)((x B(x) 二、求命题公式(P∨(Q∧R))((P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式（10分） 证明：(P∨(Q∧R))((P∧Q∧R)(((P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R)) (（(P∧((Q∨(R)）∨(P∧Q∧R) (((P∧(Q)∨((P∧(R))∨(P∧Q∧R) (((P∧(Q∧R)∨((P∧(Q∧(R)∨((P∧Q∧(R))∨((P∧(Q∧(R))∨(P∧Q∧R) (m0∨m1∨m2∨m7 (M3∨M4∨M5∨M6 三、推理证明题（10分） C∨D, (C∨D)( (E, (E((A∧(B), (A∧(B)((R∨S)(R∨S 证明：(1) (C∨D)((E (2) (E((A∧(B) (3) (C∨D)((A∧(B) (4) (A∧(B)((R∨S) (5) (C∨D)((R∨S) (6) C∨D (7) R∨S 2) (x(P(x)(Q(y)∧R(x))，(xP(x)(Q(y)∧(x(P(x)∧R(x)) 证明（1）(xP(x) (2)P(a) (3)(x(P(x)(Q(y)∧R(x)) (4)P(a)(Q(y)∧R(a) (5)Q(y)∧R(a) (6)Q(y) (7)R(a) (8)P(a) (9)P(a)∧R(a) (10)(x(P(x)∧R(x)) (11)Q(y)∧(x(P(x)∧R(x)) 四、设m是一个取定的正整数，证明：在任取m＋1个整数中，至少有两个整数，它们的差是m的整数倍 证明 设，，…，为任取的m＋1个整数，用m去除它们所得余数只能是0，1，…，m－1，由抽屉原理可知，，，…，这m＋1个整数中至少存在两个数和，它们被m除所得余数相同，因此和的差是m的整数倍。 五、已知A、B、C是三个集合，证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) （15分） 证明 ∵x( A-（B∪C）( x( A∧x(（B∪C）( x( A∧（x(B∧x(C）( （x( A∧x(B）∧（x( A∧x(C）( x(（A-B）∧x(（A-C）( x(（A-B）∩（A-C）∴A-（B∪C）=（A-B）∩（A-C） 六、已知R、S是N上的关系，其定义如下：R={x,y| x,y(N∧y=x2}，S={x,y| x,y(N∧y=x+1}。求R-1、R*S、S*R、R{1,2}、S[{1,2}]（10分） 解：R-1={y,x| x,y(N∧y=x2}，R*S={x,y| x,y(N∧y=x2+1}，S*R={x,y| x,y(N∧y=（x+1）2}， 七、若f:A→B和g:B→C是双射，则（gf）-1=f-1g-1（10分）。 证明：因为f、g是双射，所以gf：A→C是双射，所以gf有逆函数（gf）-1：C→A。同理可推f-1g-1：C→A是双射。 因为x,y∈f-1g-1(存在z（x,z∈g-1(z,y∈f-1）(存在z（y,z∈f(z,x∈g）(y,x∈gf(x,y∈（gf）-1,所以（gf）-1=f-1g-1。 R{1,2}={1,1,2,4}，S[{1,2}]={1,4}。 八、（15分）设A，*是半群，对A中任意元a和b，如a≠b必有a*b≠b*a，证明： (1)对A中每个元a，有a*a＝a。 (2)对A中任意元a和b，有a*b*a＝a。 (3)对A中任意元a、b和c，有a*b*c＝a*c。 证明 由题意可知，若a*b＝b*a，则必有a＝b。 (1)由(a*a)*a＝a*(a*a)，所以a*a＝a。 (2)由a*(a*b*a)＝(a*a)*(b*a)＝a*b*(a*a)＝(a*b*a)*a，所以有a*b*a＝a。 (3)由(a*c)*(a*b*c)＝(a*c*a)*(b*c)＝a*(b*c)＝(a*b)*c＝(a*b)*(c*a*c)＝(a*b*c)*(a*c)，所以有a*b*c＝a*c。 九、给定简单无向图G＝V，E，且|V|＝m，|E|＝n。试证：若n≥＋2，则G是哈密尔顿图 证明 若n≥＋2，则2n≥m2－3m＋6 （1）。