2016年全国高中数学联赛试题模板.doc

2016年高中数学联赛填空题 【解】 ,. 设函数，其中是一个正整数.若对任意实数，均有，则的最小值是___________. 【解】 , 当且仅当时，取到最大值，对于任意一个长为1的区间至少包含一个最大值点，从而. 反之，当时，对于任意一个区间均包含的一个完整周期，此时， 成立， 综上，正整数的最小值为. 设为正实数，若存在，使得，则的取值范围是______________ 【解】，， 因为，所以， 若存在，使得，则 ， 当时，区间长度不小于4，必存在； 当时，， 当，，无解，舍； 当，； 当，， 综上，. 8. （16分）若实数a、b、c满足，，求c的最小值. 【解】设，则 ，则 . 【题目】在中，已知：.求的最大值.（A卷） 【解】，即 ，由余弦定理， ，化简，得 ， ， . 10.已知：为上的奇函数，，且对任意，均有. 求的值. 【解】先求函数的解析式. 因为对任意，均有，令，则，（叠乘） 则， 下面求， 原式= 如图所示，在平面直角坐标系中，是轴正半轴上一个动点，以为焦点、为顶点作抛物线.设是第一象限内上的一点，是轴负半轴上一点，使得是为的切线， 【解】,两焦点，，设直线， ，， 由不重合，故直线的斜率存在，故是方程的两个不等实根， ， ①， ，，， 由于直线的斜率依次成等差数列，所以， 即， ， 若，则直线经过，与题意矛盾， 故， 由韦达定理，，故，②， 由①，②得 ，， 焦点到直线的距离为，故， 注意到， 令，则， 故在区间上单调减，故. 加试 【题目】设满足. 求的最大值. 【解】推广成一般情况：设满足.let. 求的最大值. , If and only if and , So . 【题目】如图所示，在中，是直线上两点，使得（2016全国高中数学联赛加试2题） 设，的外心分别是，直线与分别交于. 证明：是等腰三角形. 【证明】作平分线，交于， ， 即关于圆的幂等于关于圆的幂，在圆与圆的根轴上，，是等腰三角形. 【法2】分别作在上的射影， （其中外接圆半径）， 同理，，因为，所以， 因为，同理， 所以，是等腰三角形. 【题目】设均为素数，，定义数列 其中表示不小于实数的最小整数. 证明：对于均有. 【证明】（数学归纳法） 对于整数数列， 当时，， 均为素数，，， 当时，，均有成立，此时， ， , 从而对于，有 因为，所以， ，，又因为为大于1的素数，所以，所以，所以，. ..