安徽省合肥市2024-2025学年高三下学期第二次教学质量检测数学（原卷版）.docx

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2025年合肥市高三第二次教学质量检测

数学试卷

（考试时间：120分钟满分：150分）

注意事项：

1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数的虚部是（）

A. B.1 C. D.2

3.若空间中三条不同的直线，，满足，，则是，，共面的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4.已知向量，，设，，则与的夹角为（）

A B. C. D.

5.已知双曲线，过顶点作的一条渐近线的垂线，交轴于点，且，则的离心率为（）

A.3 B.2 C. D.

6.已知，则（）

A B. C. D.

7.已知为圆锥的底面直径，为底面圆心，正三角形内接于，若，圆锥的侧面积为，则与所成角的余弦值为（）

A. B. C. D.

8.已知点，，是与轴交点．点满足：以为直径的圆与相切，则面积的最大值为（）

A. B.8 C.12 D.16

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.从某校高一和高二年级分别随机抽取100名学生进行知识竞赛，按得分（满分100分）绘制如图所示的频率分布直方图，根据频率分布直方图，并用频率估计概率记高一年级学生得分平均数的估计值为，高二年级学生得分中位数与平均数的估计值分别为，．从高一和高二年级各随机抽取一名学生，记事件“高一年级学生得分不低于60分，高二年级学生得分不低于80分”，事件“高一年级学生得分不低于80分，高二年级学生得分不低于60分”则（）

A. B. C.事件，互斥 D.

10.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（）

A.与的图象关于直线对称

B.与的图象关于点对称

C.当时，

D.当时，与的图象恰有4个交点

11.已知函数定义域为，且，，则（）

A. B.，

C.的图象关于点对称 D.为偶函数

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12.已知为锐角三角形，且，，的面积为，则____________．

13.已知函数的最小值为，则____________．

14.如图，在方格中放入棋子，每个格子内至多放一枚棋子，若每行都放置两枚棋子，则恰好每列都有两枚棋子的概率为____________．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.已知是等差数列，是等比数列，且，，．

（1）求和的通项公式；

（2）求数列的前项和．

16.如图，三棱柱的所有棱长都为2，,是的中点，．

（1）证明：平面平面；

（2）求与平面所成角的正弦值．

17.已知函数，曲线在点处的切线方程为．

（1）求，的值；

（2）讨论的零点个数，并证明所有零点之和为0．

18.已知抛物线，，点在上．

（1）求的最小值；

（2）设点的横坐标为2，过作的两条切线，分别交于，两点．

（ⅰ）求直线斜率的取值范围；

（ⅱ）证明直线过定点．

19.当前，以大语言模型为代表的人工智能技术正蓬勃发展，而数学理论和方法在这些模型的研发中，发挥着重要作用．例如，当新闻中分别出现“7点钟，一场大火在郊区燃起”和“7点钟，太阳从东方升起”这两个事件的描述时，它们提供的“信息量”是不一样的，前者比后者要大，会吸引人们更多关注．假设通常情况下，它们发生的概率分别是和，用这个量来刻画“信息量”的大小，计算可得前者约为9，后者接近于0．现在假设离散型随机变量的分布列为，，．则称为的信息熵，用来刻画随机变量蕴含的信息量的大小．

（1）若的分布列为，，，求的最大值；

（2）证明：；

（3）若，且为定值，设，证明：．