钢结构稳定第五章第三组报告.ppt
文本预览下载声明
5.4 瑞利-里兹法(Rayleigh,L.,Ritz,W.) 运用 瑞利里兹法不仅能求解两向位移下的屈曲荷载,还可以求解后面几章中具有三向位移的结构稳定问题。 5.5 伽辽金法(Galerkin,B.G.) 第三组 瑞利-里兹法与迦辽金法 张海耀 胡佳梁 钱慧 蒋聪 回顾:稳定计算的近似分析法 能量守恒原理 如果贮存在结构体系中的应变能等于外力所做的功,则保守体系处于稳定平衡状态,此谓之能量守恒。 表达式:ΔU=ΔW *用能量法得到的屈曲荷载常常比精确解的结果略大。 势能驻值原理 当作用有外力的结构体系,其位移有微小的变化而总的势能不变,也即总的势能有驻值时,则该结构体系处于平衡状态,此即为势能 驻值原理。 表达式: 最小势能原理 利用前面的两种方法都能求解出构件的弹性屈曲荷载,但却不能判断这种平衡形式的类别,此时需利用最小势能原理来判别平衡的稳定与否。 若 ,总势能有最小值,平衡稳定; 若 ,平衡是不稳定的; 若 ,平衡是中性的。 方法和原理 能量法 先假定构件的挠曲线函数,此曲线函数必须满足几何边界条件,将其带入总的势能 ,通过 求解出屈曲荷载。 瑞利-里兹法是应用势能驻值原理,直接求解总势能为不变时的条件变分极值问题 构件上、下两段的惯性矩分别是 和 。用平衡法可得构件的屈曲方程为 式中 我们用瑞利-里兹法求解屈曲荷载,需要先假定 构件的挠曲线为 此式符合边界条件 任一截面的弯矩 实例5.3 见习题2.5 应变势能 外力势能 由势能驻值条件得, ,因 ,得到 当 , 时, ,而精确值为 ,经比较,仅相差1%,故近似解是足够精确的, 而用式(6)计算变截面轴心受压构件的屈曲荷载十分方便。式(6)用通式表示为 式中 式(9)还可以用更简单的代数式表示,令 经过试算,可得 的实用计算公式为 对于式(7),其实用计算公式为 图5.5(b) 例5.4 用瑞利-里兹法确定图5-6所示两端简支的压弯构件的最大挠度和最大弯矩。 需要假定构件的挠曲线 应变势能 外力势能 由势能驻值条件 ,得到 方法和原理 能量法 迦辽金法是直接利用势能驻值条件中的平衡微分方程式,不再需要写出总势能,但这样做的前提是所选位移函数需既满足几何边界条件,又满足自然边界条件,这样式由(5.21)可得到方程 (5.29) (5.28) 将式(5.29)带入式(5.28),但是式中 · 都是不等于零的微小的任意值,而式(5.28)是恒等式,因此就只有 上式(5.30)称为迦辽金方程组。 如果此方程组均为无常数项的齐次方程,则通过其系数行列式为零可得到构件的屈曲荷载。 如果式(5.30)为非齐次方程组,则可以解得 ,从而得到近似的挠曲线函数、 最大挠度和最大弯矩。 例题5.5 解:悬臂构件变形后的坐标轴如图5.7(b)所示, 假定挠曲线: (1) 验证边界条件: 几何边界条件:y(0)=0,y(l)=v , y’(l)=0 自然边界条件:y”(0)=0 根据图5.7(C)所示隔离体 建立平衡方程: (2) (3) (4) (5) 将 代
显示全部