钢结构稳定第五章第三组报告.ppt

5.4 瑞利-里兹法（Rayleigh,L.,Ritz,W.） 运用 瑞利里兹法不仅能求解两向位移下的屈曲荷载，还可以求解后面几章中具有三向位移的结构稳定问题。 5.5 伽辽金法（Galerkin,B.G.） 第三组 瑞利-里兹法与迦辽金法 张海耀 胡佳梁 钱慧 蒋聪 回顾：稳定计算的近似分析法 能量守恒原理 如果贮存在结构体系中的应变能等于外力所做的功，则保守体系处于稳定平衡状态，此谓之能量守恒。 表达式：ΔU=ΔW ＊用能量法得到的屈曲荷载常常比精确解的结果略大。 势能驻值原理 当作用有外力的结构体系，其位移有微小的变化而总的势能不变，也即总的势能有驻值时，则该结构体系处于平衡状态，此即为势能 驻值原理。 表达式： 最小势能原理 利用前面的两种方法都能求解出构件的弹性屈曲荷载，但却不能判断这种平衡形式的类别，此时需利用最小势能原理来判别平衡的稳定与否。 若 ，总势能有最小值，平衡稳定； 若 ，平衡是不稳定的； 若 ，平衡是中性的。 方法和原理 能量法 先假定构件的挠曲线函数，此曲线函数必须满足几何边界条件,将其带入总的势能 ，通过 求解出屈曲荷载。 瑞利-里兹法是应用势能驻值原理，直接求解总势能为不变时的条件变分极值问题 构件上、下两段的惯性矩分别是 和 。用平衡法可得构件的屈曲方程为 式中 我们用瑞利-里兹法求解屈曲荷载，需要先假定 构件的挠曲线为 此式符合边界条件 任一截面的弯矩 实例5.3 见习题2.5 应变势能 外力势能 由势能驻值条件得， ，因 ，得到 当 ， 时， ，而精确值为 ，经比较，仅相差1%，故近似解是足够精确的， 而用式（6）计算变截面轴心受压构件的屈曲荷载十分方便。式（6）用通式表示为 式中 式（9）还可以用更简单的代数式表示，令 经过试算，可得 的实用计算公式为 对于式（7），其实用计算公式为 图5.5（b) 例5.4 用瑞利-里兹法确定图5-6所示两端简支的压弯构件的最大挠度和最大弯矩。 需要假定构件的挠曲线 应变势能 外力势能 由势能驻值条件 ，得到 方法和原理 能量法 迦辽金法是直接利用势能驻值条件中的平衡微分方程式，不再需要写出总势能，但这样做的前提是所选位移函数需既满足几何边界条件，又满足自然边界条件，这样式由（5.21）可得到方程 （5.29） （5.28） 将式（5.29）带入式（5.28），但是式中 · 都是不等于零的微小的任意值，而式（5.28）是恒等式，因此就只有 上式（5.30）称为迦辽金方程组。 如果此方程组均为无常数项的齐次方程，则通过其系数行列式为零可得到构件的屈曲荷载。 如果式（5.30）为非齐次方程组，则可以解得 ，从而得到近似的挠曲线函数、 最大挠度和最大弯矩。 例题5.5 解：悬臂构件变形后的坐标轴如图5.7（b）所示， 假定挠曲线： （1） 验证边界条件： 几何边界条件：y(0)=0,y(l)=v , y’(l)=0 自然边界条件：y”(0)=0 根据图5.7（C）所示隔离体 建立平衡方程： (2) (3) （4） （5） 将 代