巧解几何计算题.docx

巧解几何计算题?数形结合思想是指利用形把一定的数量关系形象地表示出来,有些几何问题,如果运用“数形结合”的观点去考虑,利用未知数表示图形中的数量关系,根据数量关系建立方程并求解,有利于转化已知条件,使解题思路更加简捷清晰,这种数形结合的思想方法非常重要.1、寻找中间变量例1、一条直线上顺次有A、B、C、D四点,且C为AD的中点,BC－AB=AD,求BC是AB的多少倍？分析：由已知条件设AB=,BC=,CD=,由C为AD的中点,得AC=AB+BC=CD,即;AD=2CD,即AD=2.由已知BC－AB=AD,得,建立方程组,把、用含代数式表示,求出BC与AB的比.解：设AB=,BC=,CD= ∵C为AD的中点, ∴AC=AB+BC=CD,AD=2CD建立三元一次方程组解得所以,即BC是AB的3倍.答：BC是AB的3倍.说明：寻找中间线段,通过设未知数,利用AB、BC、与CD之间的关系作为桥梁,得出BC与AB之间的关系,列方程组求解,使过程简捷.2、求几何量的大小例2、A、O、C四点共线,OD是∠AOB的平分线,OE在∠BOC内部,∠BOE=∠BOC,∠DOE=72°,求∠EOC的度数.分析：直接利用角的和、差、倍、分转化∠EOC有些不便,可设∠AOD=°,∠BOE=°,建立二元一次方程组求解.解：∵OD是∠AOB的平分线∴∠AOB=2∠AOD∵∠BOE=∠BOC∴∠BOC=3∠BOE设∠AOD=°,则∠AOB=2°,∠BOE=°,则∠BOC=3°,依题意得：解得∴∠EOC=2∠BOE=2×36°=72°答：∠EOC的度数是72°.说明：有关角的计算问题,通常考虑用列方程和方程组的方法解决.3、生活中的应用例3、从4点起,经过多长时间,时针与分针第一次重合？分析：OC代表时针与分针第一次重合的位置,设经过分钟后,两针第一次重合,则∠AOC=6°,∠BOC=°,又∠AOB=120°,等量关系是∠AOC=∠BOC＋∠AOB,列方程求解.解：设经过分钟,时针与分针第一次重合,则∠AOC=6°,∠BOC=°,∠AOB=120°,根据题意得：120+=6解得：答：经过分钟时,分针与时钟第一次重合.说明：钟表里分针与时针的实质与行程问题中的两人追及问题相似.行程问题中的路程相当于时针和分针转动的角度,利用角度建立方程是解决此类问题的基本方法.4、与周长、面积相关的应用例4、如图：矩形ABCD被分成六个大小不一的正方形,现在只知道中间一个小正方形的面积是1平方厘米.,求矩形ABCD的面积.分析：要求矩形的面积,只要求出这个长方形的长和宽即可.解：设其次小的正方形的边长为厘米,则其余各正方形的边长：BC= + + ( + 1 )=3＋1 ,AD= (+ 2 ) + (+ 3)=2＋5 , ∵矩形ABCD的对边相等,可得方程3＋1=2＋5 , 解得= 4,∴BC=3+1=13,AB =2+3=11∴平方厘米）答：矩形ABCD的面积143平方厘米.说明：观察图形特征,此题中正方形各边都相等是沟通各量间的桥梁.例5、有两个长方形,第一个长方形的长与宽之比是5：4,第二个长方形的长与宽之比是3：2,第一个长方形的周长比第二个长方形的周长大112cm,第一个长方形的宽比第二个长方形的长的2倍还大6cm.求这两个长方形的面积.分析：第一个长方形：长5cm,宽4cm,周长2（5＋4）cm；第二个长方形：长3cm,宽2cm,周长2（3＋2）cm.解：设第一个长方形长5cm,宽4cm,第二个长方形长3cm,宽2cm,根据题意列方程：解得答：这两个三角形的面积分别是1620平方厘米、150平方厘米.反思：通过设未知数列方程进行几何的计算与证明,沟通了代数与几何之间的联系,可以简捷、清晰地表示出几何量之间的数量关系,换算转化更加方便.在解题过程中,要善于灵活运用几何知识的性质及图形特征去发掘等量关系.思维过程：练习：1、已知线段AB,C是AB上一点,并将AB分成5︰9两部分,D分AB为3︰11两部分,若CD=7CM,求线段AB的长.（AC＜BC,AD＜BD）解：设AB=,∵C点将AB分成5︰9两部分,∴AC=,同理AD=,∴CD=AC－AD=－=,又∵CD=7CM,∴=7,=49所以线段AB的长度是49厘米.2、2点和3点的什么时间,分针和时针的夹角是180°？解：设从2点起分钟后,分针和时针的夹角是180°,则设从2点起分钟后,分针与时针的夹角是180°,则∠AOD=360°－°,∠BOC=°,∠COD=60°,根据题意列方程：360－+60+=180,解得所以在2点分时,时针与分针的夹角是180°.3、已知AB、CD、EF相交于O点,∠AOE=90°,ON为∠COF的平分线,OM为∠DON的平分线.若∠AOC：∠DOM=8︰29,求∠COM的大小.解：设∠AOC=