数学建模数值算法分析.ppt

算法描述 输入平面方程一般式，螺旋线方程一般参数式，用3个欧拉角和映像z轴到螺旋线中心轴的变换向量 把输入平面方程一般式，螺旋线方程参数式 判断方程是否奇异 求极值点 有解否？ 输出无解标志 用二分法求唯一解 求周期解 解在极值附近否？ 用二分法求解 用牛顿法求解 是唯一解? y y y N N N N 二分法有根区间的确定 牛顿法初值的确定：(牛顿法局部收敛，而且会出现加收敛)以连接相邻两个极值点的直线与t轴交点横坐标为初始点。 数值积分和数值微分 1．黎曼和： 2．牛顿—柯特斯(Newton—Cotes)求积公式 将积分区间[a,b]等分n份,记,分点为,k=0,1,...,n, 用拉格朗日插值多项式代替被积函数f(x)，得到n阶Newton—Cotes公式 3.常用的Newton—Cotes公式 n=1时，得梯形公式: I? n=2时，得辛普森公式: I? 4 复化求积公式 随着n的增加可减少积分误差，但高阶Newton—Cotes公式又会造成数值不稳定，因而采用复化公式。 将积分区间[a,b]等分n等份,在每个小区间[xk,xk+1]上使用低阶Newton—Cotes公式, (k=0,1,...,n). 1).复化梯形公式 在每个子区间上用梯形公式,将它们累加得复化梯形公式： 2). 复化辛浦生公式 记xk+1/2是区间的中点, 在每个子区间上用辛浦生公式, 并将它们累加得复化辛浦生公式： 5. 变步长梯形法(逐次分半梯形公式) 以复化梯形公式为例 n等分区间 2n等分区间 近似有： 类似，复化Simpsom公式 6.先看看事后误差估计 （不同的误差表达式，事后误差估计式是不同的） 自适应计算 记 为复化一次，2次的Simpson公式 控制 求 7．自适应步长法 函数变化有急有缓，为了照顾变化剧烈部分的误差，需要加密格点。对于变化缓慢的部分，加密格点会造成计算的浪费。以此我们介绍一种算法，可以自动在变化剧烈的地方加密格点计算，而变化缓慢的地方，则取稀疏的格点。 是 8．龙贝格(Romberg)算法 受事后误差估计式启发，用低阶的公式线性组合后成为一个高阶的公式。 ? Romberg 算法： ? ? ? ? ? ? … … … … … … ? T1 = ) 0 ( 0 T ? T8 = ) 3 ( 0 T ? T4 = ) 2 ( 0 T ? T2 = ) 1 ( 0 T ? S1 = ) 0 ( 1 T ? R1 = ) 0 ( 3 T ? S2 = ) 1 ( 1 T ? C1 = ) 0 ( 2 T ? C2 = ) 1 ( 2 T ? S4 = ) 2 ( 1 T ?直到|Tm(0)-Tm-1(0)|ε或 二重积分的复化梯形公式 系数，在积分区域的四个角点为1/4，4个边界为1/2，内部节点为1 定义：若积分的数值积分公式 对于任意一个次数不高于m次的多项式都精确成立，而存在一个m+1次多项式使之不精确成立，则称该数值积分公式的代数精确度为m。 9．积分公式的代数精确度 引理:n阶Newton—Cotes公式的代数精确度至少是n。 当n为奇数时，n阶Newton—Cotes公式的代数精确度为n； 当n为偶数时，n阶Newton—Cotes公式的代数精确度是n+1 10．高斯型求积公式 适当选取其中2n+2个参数Ak , xk(k=0,1,…, n),使得数值积分公式的代数精确度达到2n+1,这类求积公式称为高斯型求积公式。 对于求积公式: (2)求出pn(x)的n个零点x1 , x2 , … xn 即为Gsuss点. (1)求出区间[a,b]上权函数为W(x)的正交多项式pn(x). (3)计算积分系数 Gauss型求积公式的构造方法 (3) 复化高斯求积公式 (4) 高精度Lobatto数值积分 Lobatto积分公式是高斯型求积公式的修正，始终将上下端点作为节点，n+1阶Lobatto积分公式的代数精度达到2n+1 (1) Gauss-Laguerre求积公式 (2) Gauss-Hermite求积公式 将积分区间[a,b]分成n等分，在每个子区间上用两点高斯求积公式，再把他们累加得区间[a,b]上复化Gauss-Legendre 求积公式。 11. 利用样条函数计算列表函数的数值积分： 先构造样条函数，然后再求积分。 1、插值型求导公式 已知f(x)在n+1个点上的函数值，构造插值多项式Pn(x)近似代替原函数f(x)，利用P’n(x)来代替f ’(x)。这就称为插值型求导公式 常微分方程的数值解法 考虑一阶常微分方程初值问题: