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压缩感知稀疏分解
压缩感知
压缩感知是一种新的信息获取理论，是建立在信号稀疏表示、测量矩阵的非相关性以及逼近理论上的一种信号采集和重建的方法。该理论2004年由Donoho等人提出，2006年发表正式论文。与基于奈奎斯特定理的传统采样方式不同，该理论指出，只要信号是稀疏的或者在某个基下是可压缩的，就可以通过远低于奈奎斯特采样定理要求的采样率获取信号的结构信息，再通过重构算法完成信号的精确重构。
压缩感知理论主要包括两个部分：将信号在测量矩阵上投影得到观测值以及利用重构算法由观测值重构信号。设x是一个长度为N的信号，x在变换域Ψ内K稀疏，即：
(1)
式中Ψ为稀疏变换基。通过与稀疏变换基Ψ不相关的测量矩阵Φ将高维信号x投影到低维空间y上，即：
(2)
式中y为观测向量，Φ为测量矩阵，A=ΦΨ为传感矩阵。重构的关键是找出信号x在Ψ域中的稀疏表示，可以通过l 0范数优化问题找到具有稀疏结构的解：
(3)
由于式（3）的优化问题是一个难求解的NP-hard问题，所以可以用l 1约束取代l 0约束：
(4)
稀疏的概念
对于长度为N的向量（实际上是指一个N维离散离值信号）来说，它的N个元素值只有K个是非零的，其中KN，这时我们称这个向量是K稀疏的或者说是严格K稀疏的；实际中要做到严格K稀疏不容易，一般来说，只要除了这K个值其它的值很小，我们就认为向量是稀疏的。
稀疏分解
用不同的稀疏基对测试信号进行稀疏分解，设定阈值，小于阈值的系数视为0，比较信号在各稀疏基下的稀疏度。常见稀疏基有离散傅里叶基（FFT）、离散余弦变换基（DCT）、离散正弦变换基（DST）、离散哈特莱变换（DHT）、离散W变换。
仿真1
测试信号（信号长度N=1841）：
表1不同稀疏基下测试信号稀疏度
FFT
DCT
DST
DHT
W
c=0.01
1313
1468
1657
1473
1477
c=0.05
311
490
1107
494
487
c=0.1
183
220
945
218
221
仿真2
测试信号（信号长度N=300）：
表2不同稀疏基下测试信号稀疏度
FFT
DCT
DST
DHT
W
c=0.01
230
247
275
250
249
c=0.05
51
77
200
103
98
c=0.1
33
38
170
46
45
仿真3
测试信号（信号长度N=300）：
表3不同稀疏基下测试信号稀疏度
FFT
DCT
DST
DHT
W
c=0.01
298
223
289
279
296
c=0.05
188
31
247
197
241
c=0.1
11
12
207
120
114
仿真4
测试信号（信号长度N=300）：
表3不同稀疏基下测试信号稀疏度
FFT
DCT
DST
DHT
W
c=0.01
189
221
263
230
227
c=0.05
15
31
184
70
73
c=0.1
3
6
160
19
18
离散余弦变换迭代次数与重构成功概率关系
仿真1
信号长度400，迭代次数20至100，间隔为5。先对测试信号进行平滑处理，再用离散余弦变换进行稀疏分解。测量矩阵为高斯随机矩阵，重构算法为OMP，测量值需满足才能进行精确的重构。阈值threshold=0.01，K=122，M=145；threshold=0.05，K=63，M=117；threshold=0.06，K=60，M=114。
测试信号：
测量值M=160：
测量值M=150：
测量值M=140：
测量值M=130：
测量值M=120：
测量值M=110：
仿真2
信号长度400，先对测试信号进行平滑处理，再用离散余弦变换进行稀疏分解。测量矩阵为高斯随机矩阵，重构算法为OMP，测量值需满足才能进行精确的重构。阈值threshold=0.01，K=99，M=139；threshold=0.05，K=14，M=47；threshold=0.06，K=11，M=40。
测试信号：
仿真3
信号长度1841，先对测试信号进行平滑处理，再用离散余弦变换进行稀疏分解。测量矩阵为高斯随机矩阵，重构算法为OMP，测量值需满足才能进行精确的重构。阈值threshold=0.01，K=550，M=665；threshold=0.05，K=265，M=514；threshold=0.06，K=231，M=480。
测试信号：
不同测量矩阵与重构误差的关系
测量矩阵：1高斯随机矩阵、2随机贝努利测量矩阵、3部分傅里叶矩阵、4稀疏随机矩阵、5托普利