余弦定理教教学案例余弦定理教教学案例.doc

§1.1.2余弦定理的教学设计 陕西省宁陕县宁陕中学中学教师 徐小刚 教学目标 知识与技能 探索任意三角形的边长与角度间的具体量化关系，引导学生通过观察、猜想、验证、证明，由特殊到一般归纳出余弦定理，掌握余弦定理的内容及其证明方法，并学会应用余弦定理解决解斜三角形的类基本问题。 过程与方法 通过对实际问题的探索，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。通过余弦定理解决一些现实问题。 情感、态度与价值观 培养学生合情合理数学规律的数学思想方法，通过平面几何、三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普通联系与辩证统一。增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维能力。 教材分析 余弦定理是继正弦定理教学之后又一关于三角形的边角关系准确量化的一个重要定理。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的结果，就是“在任意三角形中大边对大角，小边对小角” ，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等，则这两个三角形全等” 。同时学生在初中阶段能解决直角三角形中一些边角之间的定量关系。在高中阶段，学生在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握任意三角形中边角之间的定量关系，从而进一步运用它们解决一些与测量和几何计算有关的实际问题，使学生能更深地体会数学来源于生活，数学服务于生活。 学情分析 1、通过前一节正弦定理的学习，学生已能解决这样两类解三角形的问题： ①已知三角形的任意两个角与边，求其他两边和另一角； ②已知三角形的任意两个角与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角。 而在已知三角形两边和它们的夹角，计算出另一边和另两个角的问题上，学生产生了认知冲突，这就迫切需要他们掌握三角形边角关系的另一种定量关系。所以，教学的重点应放在余弦定理的发现和证明上。 2、在以往的教学中存在学生认知比较单一，对余弦定理的证明方法思考也比较单一，而本节的教学难点就在于余弦定理的证明。如何启发、引导学生经过联想、类比、转化多角度地对余弦定理进行证明，从而突破这一难点。 3、学习了正弦定理和余弦定理，学生在解三角形中，如何适当地选择定理以达到更有效地解题，也是本节内容应该关注的问题，特别是求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理时，教学中应注意让学生能理解两种方法的利弊之处，从而更有效地解题。 教学重点和难点 教学重点：余弦定理的证明及其基本应用。 教学难点：理解余弦定理的作用及适用范围。 教学过程设计 1、教学基本流程： ①从一道生活中的实际问题的解决引入问题，如何用已知的两条边及其所夹的角来表示第三条边。 ②余弦定理的证明：以小组自学讨论及老师引导的形式启发学生用向量的方法得到余弦定理的证明。 ③应用余弦定理解斜三角形。 2、教学情景： ①知识回顾：由学生回答正弦定理及其主要解决三角形的哪几类问题 设计意图：回顾就知，防止遗忘，要求学生温故而知新。 ②创设情境，提出问题，引入新课。 问题：以千岛湖求两岛间的距离引入，已知两岛间的距离及夹角如何求另两岛间的距离。 老师活动：以上问题能否用正弦定理来解决，请同学们尝试一下，如果解决不了，思考它是已知三角形两边及夹角，求第三边的问题。能否也象正弦定理那样，寻找它们之间的某种定量关系？ 学生活动：动手做一做，学生展示。 【设计意图】：来源于生活中的问题能激发学生的学习兴趣，提高学习积极性。让学生进一步体会到数学来源于生活，数学服务于生活。 ③求异探新，证明定理 问题1：这是一个已知三角形两边a和b,和两边的夹角C，求出第三边c的问题.我们知道已知三角形两边分别为a和b,这两边的夹角为C，角C满足什么条件时较易求出第三边c？ 学生活动： 在△ABC中，∠C = 90°，则用勾股定理就可以得到c2=a2+b2。 老师活动： 你能用向量证明勾股定理吗？发挥小组团结的力量，共同解决以下问题，相信自己一定行。 【设计意图】：引导学生从最简单入手，从而引入新的任务。 问题2：自学提纲 学生活动：小组合作探究，完成填空。 老师引导： 即证 证明过程： 类似地可以证明b2 = ( )，a2 = ( )。 老师活动：引导学生从特殊入手，用已有的初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题，从而寻找出这些量之间存在的某种定量关系。得出结论，上式就是余弦定理。 师生强调：得出了余弦定理，还应引导学生联想、类比、转化，思考是否还有其他方法证明余弦定理。 【设计意图】给学生足够的空间和展示的平台，充