102学年度北一区（花莲高中）高级中学数理及资讯学科能.PDF

102 學年度北一區 (花蓮高中) 高級中學數理及資訊學科能力競賽 數學科筆試（二）試題 編號： （學生自填） 注意事項： 1. 本試卷共八題填充題，每題3 分，滿分為24 分。 2. 考試時間：1 小時。 3.試題及計算紙必須連同答案卷交回。 4. 將答案依序填寫在答案欄內。 1. 《天地明察》是有關和算家澀川春海的傳記故事，也納入澀川春海與同時代日本算 聖關孝和的競爭，將數學知識活動，譬如解題與出題等對話，極為成功地融入故事 情節之中。下圖是該小說裡一道數學題目的插圖： 在一勾九寸、股十二寸的直角三角形內，有兩個直徑相同的圓，彼此相切，與邊也 相切，如上圖所示。試求這兩個相同圓的半徑為 ( 一 ) 。 1 1 1 2   5 3 2 2 2 3 3 3 3         2. 設a  ,b  ,c  , d  ,e  3 則 ,b , , d , ，由大而小排列為           a c e 3 5 3 2         ( 二 ) 。 3. 某一燈塔裝置了紅、黃、藍、綠、紫五種不同顏色的燈，每晚會點亮其中一種燈， 且每一晚都是從前一晚未點過的四種燈中隨機點亮一種。設第 1 晚點亮紅色燈，則 第6 晚也點亮紅色燈的機率為 ( 三 ) （以最簡分數表示）。 A 4. 有一輛車在筆直的公路上做等速直線運動。開始時該車位於 點，1 分鐘及2 分鐘 B C O AOB= BOC= 後，該車分別位於 和 點，有一人在某個觀測點 測得 90°及 30°， OAC= tan 設 ，則 的值為 ( 四 ) 。 A  1, 2,3, ,102 B C B C  A 5. 設集合   共 102 個數， , 為另2 個集合，滿足 ，則這 樣的B, C  共有 ( 五 ) 組。 6. 一模型公司在一個內部邊長為2 單位的透明正立方體箱子內，放置一顆半徑為 1 單 位的黃球，然後又要在箱子的八個角落再塞入8 顆半徑相同的小紅球。 試求：小紅球的最大半徑為 ( 六 ) 單位。 x2 ax 3 7. 設a 為實數。若對於所有實數x ， 2  2 恆成立，則a 的範圍為 x  x 2 ( 七 ) 。 8. 坐標平面上圓C 通過點(0, 2) ，且C 與兩直線 3x  y 2 0, y 1 0 皆相切，則圓C 的方程式為 ( 八 ) 。