南通二模数学.DOC

南通市高三数学试卷　第页(共6页)南通市2010届高三第三次模拟考试 数　　学 (满分160分，考试时间120分钟) 2010．5 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 有一容量为10的样本：2,4,7,6,5,9,7,10,3,8，则数据落在[5.5,7.5)内的频率为________． 2. 已知直线l、m、n，平面α，m?α，n?α，则“l⊥α”是“l⊥m，且l⊥n”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)． 3. 已知集合A＝{2,7，－4m＋(m＋2)i}(其中i为虚数单位，m∈R)，B＝{8,3}，且A∩B≠?，则m的值为________． (第7题) 4. 在区间[0,1]上任取两个数a、b，则关于x的方程x2＋2ax＋b2＝0有实数根的概率为________． 5. 若函数f(x)＝tanx，　x≥0，log2?－x?，x＜0，)则f\a\vs4\al\co1(2f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π4))))＝____________. 6. 在区间[－a，a](a＞0)内不间断的偶函数f(x)满足f(0)·f(a)＜0，且f(x)在区间[0，a]上是单调函数，则函数y＝f(x)在区间(－a，a)内零点的个数是________． 7. 执行如右图所示的程序框图后，输出的结果是__________． 8. 不等式x＜2x－1的解集是________． 9. 如图，点A、B在函数y＝tan(π4x－π2)的图象上，则直线AB的方程为____________． (第9题) 10. 双曲线x216－y29＝1上的点P到点(5,0)的距离是6，则点P的坐标是__________． 11. 已知数列{an}为等差数列，若a5a6＜－1，则数列{|an|}的最小项是第________项． 12. 在菱形ABCD中，若AC＝4，则→·→＝________. 13. 已知点P在直线x＋2y－1＝0上，点Q在直线x＋2y＋3＝0上，PQ的中点为M(x0，y0)，且y0＞x0＋2，则y0x0的取值范围是________． 14. 数列{an}满足：a1＝2，an＝1－1an－1(n＝2,3,4，…)，若数列{an}有一个形如an＝Asin(ωn＋φ)＋B的通项公式，其中A、B、ω、φ均为实数，且A＞0，ω＞0，|φ|＜π2，则an＝________.(只要写出一个通项公式即可) 二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分) 已知向量m＝(sinA，12)与n＝(3，sinA＋3cosA)共线，其中A是△ABC的内角． (1) 求角A的大小； (2) 若BC＝2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状． 16. (本小题满分14分) 如图，已知四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE. (1) 求证：AE∥平面BDF； (2) 求三棱锥D—ACE的体积． 17. (本小题满分15分) 田忌和齐王赛马是历史上有名的故事，设齐王的3匹马分别为A、B、C，田忌的3匹马分别为a、b、c,6匹马的奔跑速度由快到慢的顺序依次为：A、a、B、b、C、c.两个约定：6匹马均需参赛，共赛3场，每场比赛双方各出1匹马，最终至少胜两场者为获胜． (1) 如果双方均不知道对方的出马顺序，求田忌获胜的概率； (2) 颇有心计的田忌赛前派探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出A马．那么，田忌应怎样安排马的出场顺序，才能使获胜的概率最大？ 18. (本小题满分15分) 在平面直角坐标系xOy中，已知对于任意实数k，直线(3k＋1)x＋(k－3)y－(3k＋3)＝0恒过定点F.设椭圆C的中心在原点，一个焦点为F，且椭圆C上的点到F的最大距离为2＋3. (1) 求椭圆C的方程； (2) 设(m，n)是椭圆C上的任意一点，圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)与椭圆C有4个相异公共点，试分别判断圆O与直线l1：mx＋ny＝1和l2：mx＋ny＝4的位置关系． 19. (本小题满分16分) 设数列{an}是由正数组成的等比数列，公比为q，Sn是其前n项和． (1) 证明Sn·Sn＋2＜Sn＋1； (2) 设bn＝415an＋3＋45an＋1＋25an，记数列{bn}的前n项和为Tn，试比较q2Sn和Tn的大小． 20. (本小题满分16分) 已知函数f(x)＝x2－2acoskπ·lnx(k∈N*，a∈R，且a＞0)． (1) 讨论函数f(x)的单调性； (2) 若k＝2 010，关于x的方程f(x)＝2ax有唯