数学论文——4n阶幻方的一种通用构造方法.doc

4n阶幻方的一种通用构造方法 幻方（又称魔术方阵）是一个具有永恒魅力的数学问题，吸引着众多的数学爱好者去研究。幻方一般分为奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方，对每一种幻方人们都希望找到一种简单迅速的构造方法。4n（n=1，2，3……）阶幻方是双偶阶幻方，下面我以四阶和八阶幻方为例谈一种极其简捷有效地构造4n阶幻方的方法。 一、四阶幻方构造法 第一步：把数字1-16按照图1所示的方向和顺序填入表中。注意数字1-8按顺时针方向填入，而数字9-16按逆时针方向填入；并且注意1-4这四个数字与5-8这四个数字间隔一行，同样9-12这四个数字与13-16这四个数字也间隔一行。 1 2 3 4 12 11 10 9 8 7 6 5 13 14 15 16 图1 第二步：把表格中间两列（总列数的一半）的四组数字上下对调（即上面第一组与下面倒数第一组对调，第二组与倒数第二组对调），就可以得到四阶幻方的最终构造图（图2）。 1 14 15 4 12 7 6 9 8 11 10 5 13 2 3 16 图2 二、八阶幻方构造法 第一步：把数字1-64按照图3所示的方向和顺序填入表中。注意与四阶幻方一样交替反向填入，意思是：数字1-16按顺时针方向填入，而数字17-32按逆时针方向填入；并且注意1-8这八个数字在第一行，而9-16这八个数字在第五行（相当于把整个表格平均分成上下两部分后，下半部的第一行）；17-24这八个数字在第二行，而25-32这八个数字在第六行（下半部的第二行）；其他数字同样是交替反向填入。 1 2 3 4 5 6 7 8 24 23 22 21 20 19 18 17 33 34 35 36 37 38 39 40 56 55 54 53 52 51 50 49 16 15 14 13 12 11 10 9 25 26 27 28 29 30 31 32 48 47 46 45 44 43 42 41 57 58 59 60 61 62 63 64 图3 第二步：把表格中间四列（总列数的一半）的八组数字上下对调（即上面第一组与下面倒数第一组对调，第二组与倒数第二组对调，其他以此类推），就可以得到八阶幻方的最终构造图（图4）。 1 2 59 60 61 62 7 8 24 23 46 45 44 43 18 17 33 34 27 28 29 30 39 40 56 55 14 13 12 11 50 49 16 15 54 53 52 51 10 9 25 26 35 36 37 38 31 32 48 47 22 21 20 19 42 41 57 58 3 4 5 6 63 64 图4 三、其他4n阶幻方的构造可以仿照上述方法进行 文章说明： 此4n阶幻方的构造方法是独立研究得出，绝非抄袭。虽然方法简单，但是我觉得此种方法却极其简捷有效，比对称交换法更简捷，所以就想与大家共享。 附录： 对称交换法方法:?????? 1) 把自然数依次排成方阵?????? 2) 把幻方划成4×4的小区，每个小区划对角线?????? 3) 把这些对角线所划到的数，保持不动?????? 4) 把没划到的数,按幻方的中心，以中心对称的方式，进行对调