计算从1到N的所有整数中包含数字1的个数.doc

计算从1到N的所有整数中包含数字1的个数今天看到一道有趣的算法题，题目如下： N为正整数，计算从1到N的所有整数中包含数字1的个数。比如，N=10，从1，2...10，包含有2个数字1。 ? 相信很多人都能立刻得出以下的解法： ? for(n:N) ? { ????????? 判断n包含1的个数； ????????? 累加计数器； ? } 这是最直接的解法，但遗憾的是，时间复杂程度为O(N*logN)。因为还需要循环判断当前的n的各位数，该判断的时间复杂程度为O(logN)。 接下来就应该思考效率更高的解法了。说实话，这道题让我想起另外一道简单的算法题： N为正整数，计算从1到N的整数和。 很多人都采用了循环求解。然后利用初等数学知识就知道S=N*(N+1)/2，所以用O(1)的时间就可以处理。 再回到本道题目，同理应该去寻找到结果R与N之间的映射关系。 分析如下： 假设N表示为a[n]a[n-1]...a[1]，其中a[i](1=i=n)表示N的各位数上的数字。 c[i]表示从整数1到整数a[i]...a[1]中包含数字1的个数。 x[i]表示从整数1到10^i - 1中包含数字1的个数，例如，x[1]表示从1到9的个数，结果为1；x[2]表示从1到99的个数，结果为20； 当a[1]=0时，c[1] = 0; 当a[1]=1时，c[1] = 1; 当a[1]1时，c[1] = 1; ? 当a[2]=1时，c[2] = a[1] +1+ c[1] + x[1]; 当a[2]1时，c[2] = a[2]*x[1]+c[1]+10; ? 当a[3]=1时，c[3] = a[2]*a[1] +1+ c[2] + x[2]; 当a[3]1时，c[3] = a[3]*x[2]+c[2]+10^2; ? 以此类推 当a[i]=1时，c[i] = a[i-1]*...*a[1] +1+ c[i-1]+x[i-1]; 当a[i]1时，c[i] = a[i]x[i-1]+c[i-1]+10^(i-1); ? ? 实现的代码如下： Java代码 ? public?static?int?search(int?_n)??? ?? {??? ?? ????int?N?=?_n/10;??? ?? ????int?a1?=?_n%10,a2;??? ?? ????int?x?=?1; ?? ????int?ten?=?10; ?? ????int?c?=?a1?==?0?0:1; ?? ????while(N??0)??? ?? ????{??? ?? ????????a2?=?N%10; ?? ????????if(a2?==?0); ?? ????????else?if(a2?==?1)c?=?a1?+?1?+?x?+?c;??? ?? ????????else?c?=?a2*x?+?c?+?ten;??? ?? ????????a1?=?10*a1?+?a2;????? ?? ????????N?/=10;??? ?? ????????x?=?10*x?+?ten; ?? ????????ten?*=?10;? ?? ????}??? ?? ????return?c;??? ?? }?? public static int search(int _n) { int N = _n/10; int a1 = _n%10,a2; int x = 1; int ten = 10; int c = a1 == 0?0:1; while(N 0) { a2 = N%10; if(a2 == 0); else if(a2 == 1)c = a1 + 1 + x + c; else c = a2*x + c + ten; a1 = 10*a1 + a2; N /=10; x = 10*x + ten; ten *= 10; } return c; } ? ? 而以上解法的时间复杂程度只有O(logN) 今天看到一道有趣的算法题，题目如下： N为正整数，计算从1到N的所有整数中包含数字1的个数。比如，N=10，从1，2...10，包含有2个数字1。 ? 相信很多人都能立刻得出以下的解法： ? for(n:N) ? { ???????