湖南省岳阳市2025届高三上学期教学质量监测（一）数学试题.docx
第PAGEpagenumberpagenumber页，共NUMPAGESnumberofpagesnumberofpages页
第PAGEpagenumberpagenumber页，共NUMPAGESnumberofpagesnumberofpages页
湖南省岳阳市2025届高三上学期教学质量监测（一）数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，则（????）
A． B． C． D．
2．若，则（????）
A． B． C． D．
3．若函数为奇函数，则（????）
A． B． C． D．
4．已知角顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则它的终边过点若将角的终边绕坐标原点顺时针旋转得到角，则（????）
A． B． C． D．
5．将一个底面半径为2，高为的圆锥形石材打磨成一个球，则该球表面积的最大值为（????）
A． B． C． D．
6．甲乙两人参加一项户外挑战赛，该挑战赛设置了多道关卡，已知两人是否通过某道关卡是相互独立的，且两人中至少有一人通过当前关卡，才有资格同时进入下一关挑战，否则挑战结束.已知在第一关中甲乙两人通过的概率分别为，若两人有资格挑战第二关，则在第一关中，甲通过的概率为（????）
A． B． C． D．
7．已知椭圆分别为椭圆的左右焦点，离心率为，点为直线上的一点.当的外接圆周长取最小值时，该圆的半径为（????）
A．1 B．2 C．4 D．8
8．已知函数，其导函数为，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（????）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的有（????）
A．的展开式中，的系数是
B．的展开式中，各二项式系数和为
C．从名男生，名女生中选名学生参加志愿者服务，表示参加志愿服务的男生人数，则
D．有个不同的正因数
10．如图，直线与函数的部分图象交于三点（点在轴上），若，则下列说法正确的是（????）
??
A．
B．
C．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象
D．当时，
11．已知是双曲线：的左右焦点，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于两点，和的内切圆半径分别为.设点为的内心，的面积为，的面积为，的面积为，且，则下列说法正确的是（????）
A． B．双曲线的离心率
C． D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量.若，则.
13．已知数列满足，则.
14．已知函数，若函数与的图象有且仅有三个交点，则实数的取值范围是.
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知分别为的内角的对边，且，点为边的中点，若，且.
(1)求；
(2)求的面积.
16．已知抛物线的焦点为，点在直线上，是抛物线上两个不同的点.
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线的斜率为，若，证明：直线过定点，并求定点坐标.
17．如图，在四棱锥中，平面底面，底面为平行四边形，为边的中点，.
??
(1)求证：；
(2)已知二面角的平面角等于，则在线段上是否存在点，使得到平面的距离为，若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由.
18．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)令，当时，求的极值点个数；
(3)令，当有且仅有两个零点时，求的取值范围.
19．“外观数列”设各位上的数字均不为是指以下特点的整数序列：它以正整数开始，逐项地描述前一项的外观，将描述结果作为下一项．比如外观数列为：
第一项：
第二项：描述第一项为个
第三项：描述第二项为个个
第四项：描述第三项为个个个
第五项：描述第四项个个个．
(1)求“外观数列”的第三项和第五项；
(2)若从“外观数列”中随机选取一个数列，求该数列第二项小于第一项的概率；
(3)证明：当是六位数时，“外观数列”从首项开始最多连续项单调递减．
参考答案
1．【答案】D
【详解】由，得，所以，
故选：D.
2．【答案】C
【详解】由．
故选：C
3．【答案】B
【详解】令，可得，即函数的定义域为，
若函数为奇函数，则，
可得，
所以.
故选：B.
4．【答案】C
【详解】由题意，
则.
故选：C
5．【答案】A
【详解】由题意可得圆锥的母线长为，所以圆锥的轴截面是等边三角形，
将圆锥形石材打磨成一个球，要使球的表面积的最大，则球的半径要最大，
此时球是圆锥的内切球，设等边三角形的内切球的半径为，
由等边三角形的性质可得，所以，
所以球的表面积为.
故选：A.
6．【答案】D
【详解】在第一关中甲乙两人通过的事件分别为，两人有资格挑战第二关的事件为，
则，，，
所以若两人有资格挑战第二关，则在第一关中，甲通过的概率.
故选：D
7．【答案】C
【详解】
??
设的外接圆的圆心为，则在的垂直平分线上
又在上，