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第二章 城市供水量的预测模型 ——插值与拟合算法 2.1 城市供水量的预测问题 2.1.1 实际问题与背景 为了节约能源和水源，某供水公司需要根据日供水量记录估计未来一时间段（未来一天或一周）的用水量，以便安排未来（该时间段）的生产调度计划。现有某城市7年用水量的历史记录，记录中给出了日期、每日用水量（吨/日）。如何充分地利用这些数据建立数学模型，预测2007年1月份城市的用水量，以制定相应的供水计划和生产调度计划。 表2.1.1 某城市7年日常用水量历史记录（万吨/日） 日期20000102 ……20061231 日用水量 122.1790 128.2410 …… 150.40168 148.2064 年份 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 用水量 在区间上存在且连续，但却难以找到它的解析表达式，只能通过实验和观测得到该函数在有限个点上的函数值（即一张函数表）。显然，要利用这张函数表来分析函数的性态，甚至直接求出其它一些点上的函数值是非常困难的。在有些情况下，虽然可以给出函数的解析表达式，但由于结构相当复杂，使用起来很不方便。面对这些情况，希望根据所得函数表（或结构复杂的解析表达式），构造某个简单函数作为未知函数的近似。插值法是解决此类问题的一种常用的经典方法，它不仅直接广泛地应用于生产实际和科学研究中，而且也是进一步学习数值计算的基础。 定义2.2.1 设函数在区间上连续，且在个不同的点上分别取值，在一个性质优良、便于计算的函数类中，求一简单函数，使 (2.2.1) 而在其它点上作为的近似。称区间为插值区间，点为插值节点，称（2.2.1）为的插值条件，称函数类为插值函数类，称为函数在节点处的插值函数。求插值函数的方法称为插值法。 插值函数类的取法不同，所求得的插值函数逼近的效果就不同，它的选择取决于使用上的需要。常用的有代数多项式、三角多项式和有理函数等。当选用代数多项式作为插值函数时，相应的插值问题就称为多项式插值。这里主要介绍多项式插值。 在多项式插值中，求一次数不超过的代数多项式 (2.2.2) 使 （2.2.3） 其中为实数。满足插值条件(2.2.3)的多项式(2.2.2)，称为函数的次插值多项式。 次插值多项式的几何意义：过曲线上的个点作一条次代数曲线作为曲线的近似，如图2.2.1所示。 图2.2.1 插值多项式的几何直观图 2.2.2 插值多项式的存在唯一性 由插值条件（2.2.3）知，的系数满足线性方程组： （2.2.4） 由线性代数知，线性方程组的系数行列式是阶范德蒙（Vandermonde）行列式，且 因是区间上的不同点，上式右端乘积中的每一个因子，于是系数行列式不等于0，即方程组（2.2.4）的解存在且唯一。从而得出插值多项式的存在唯一性定理。 定理2.2.1 若插值节点互不相同，则满足插值条件（2.2.3）的次插值多项式（2.2.2）存在且唯一。 2.3 求插值多项式的Lagrange（拉格朗日）法 在上一节里，插值多项式存在唯一性的证明过程不仅指出了满足差值条件的次插值多项式是存在唯一性的，而且也提供了插值多项式的一种求法，即通过解线性方程组（2.2.4）来确定其系数。但是，当未知数个数多时，这种做法的计算工作量大，不便于实际应用。Lagrange基于用简单插值问题的插值函数表示一般的插值函数思想，给出一种求插值函数的简便方法——Lagrange插值法。 2.3.1 Lagrange插值基函数 先考虑简单的插值问题：对节点中任意一点做一次多项式使它在该点上取值为1,而在其余点上取值为零, 即满足插值条件 （2.3.1） （2.3.1）表明个点都是次多项式的零点，故可设，其中为待定系数，由条件可得 故 （2.3.2） 对应于每一节点都能求出一个满足插值条件（2.3.1）的次插值多项式（2.3.2），这样，由（2.3.2）式可以求出个次插值多项式。容易看出，这组多项式仅与节点的取法有关，称它们为在个节点上的次基本插值多项式或次插值基函数，即Lagrange插值基函数。 2.3.2 Lagrange（拉格朗日）插值多项式 利用Lagrange插值基函数立即可以写出满足插值条件（2.2.3）的次插值多项式 （2.3.3） 事实上，由于每个插值基函数都是次多项式，故其线性组合（2.3.