大气污染的数学模型.doc

PAGE PAGE 2 大气污染的数学模型 摘要 改革开放以来国民经济的快速发展，伴随着的是愈演愈烈的环境污染问题，其给人民的健康与生活带来了极大的危害。本文从城市环境污染中的一个重要方面——大气污染入手，充分考虑其产生和传播特点，建立了大气污染的数学模型及其抛物型线性方程的Fourier变换求解方法。因为模型为时间的函数，我们预测从现在开始，若严格达标排放，环境得到显著改善所需的时间模型。从社会角度出发，比较了利用排污而后再治理与直接处理污染成本大小。最后根据建立的模型，提出解决环境问题的一些措施。 【关键词 】 大气污染；模型；Fourier变换 问题的重述 随着国民经济的不断发展，超标排污、环境污染的事故时有发生，给人民的健康与生活带来了极大的危害。环境保护是构建和谐社会和资源节约型社会的一个重要组成部分。例如，作为环境污染的一个重要部分——大气污染，主要由于工厂（如石灰厂、纸厂、发电厂、水泥厂等）排出的有害烟尘，以及越来越多的汽车排出的有害烟尘所造成，这些有害烟尘因大气的扰动而扩散，随气流而漂移，造成大气污染，危害环境，同时烟尘可以通过人类的直接呼吸、饮食以及皮肤接触而影响人类的身体，对人类的这种危害可以分为急性中毒、慢性中毒以及致癌三种。另外，水污染也是环境污染的一个重要部分。 试就以下两个问题给出自己的解答： 1）建立小范围内（如金华市）环境污染过程的数学模型（关于时间的函数）。 2）预测从现在开始，停止一切污染源（严格达标排放），要多长时间金华的环境才能得 到显著改善。 3）从社会角度比较分析利用排污而后再治理的成本与直接处理污染的成本。 4）根据建立的模型，提出解决环境问题的措施或策略。 问题的分析 水泥厂,石灰厂、纸厂等一些工厂及越来越多的汽车排出的有害烟尘,因大气的扰动而扩散,随气流而飘移,造成大气污染,危害环境,影响人类的身体健康。根据这样的分析，我们可以任取空间上一闭曲面S所围区域为Ω,C(x,y,z)为有害烟尘的浓度。θ(x,y,z,t)是(x,y,z)点上t时刻单位体积单位时间烟尘的排放量。利用高斯定理等数学工具，可以列出关于时间t和浓度c的偏微分方程，再通过Fourier变换求解，就可以解出偏微分方程，得到我们所需的模型。因为缺乏必要的数据，我们先设环境得到显著改善时的有害气体浓度为A只要解出时间就可以了。通过查阅文献资料，我们可以分析出排污而后再治理的成本与直接处理污染的成本的大小关系，而且可以猜测，其间必存在阈值。 模型的假设 1、任取空间上一闭曲面S所围区域为； 2、有害烟尘随风向四周扩散； 3、有害烟尘在大气中有吸收衰减； 4、θ(x,y,z,t)是(x,y,z)点上t时刻单位体积单位时间烟尘的排放量。 符号说明 1、C(x,y,z)为有害烟尘的浓度。 2、D1,D2,D3分别是x,y,z轴方向上的扩散系数 3、k为吸收衰减系数且大于0. 4、(μ、υ、ω)是不变的风向量 5、为大气中有害气体的初始浓度 6、A为空气质量明显改善后烟尘的浓度 模型的建立与求解 问题一： 由重积分的意义知道,通过S从t到t+△t时间内流入的烟尘质量为 其中cosα、cosβ、cosr是s的外法向余弦。由高斯公式得: 由于吸收衰减,在t到t+△t时间内内烟尘的成少量为： 由于空气流动,烟尘随风从t到t+△t时间内流动飘出S的质量为： 其中(μ、υ、ω)是不变的风向量,由高斯公式得： 由S内从t到t+△t时间内共排放出烟尘量为: 从另一个角度看,由于浓度的变化引起的Ω内质量之增加量为： 由质量守恒定律得 由△t,t,的任意性得大气污染的数学模型为: （1） 初始条件为： 模型的求解： Fourier变换的性质 记： (2) 由(2)式定义的Fourier变换有下列主要性质: (1)线性性质 (2)微分性质 （3）可逆性质 则： 由Fourier求解抛物线型方程 对（1）进行Fourier变换得 是以t为自变量的一阶线性非齐次常微分方程的Cauchy问题,改写成 解得： 对进行反变换得到: 所以我们得到了大气污染的数学模型： 问题二： 设A为空气质量明显改善后烟尘的浓度，且设A,设按标准排放后对环境造成的污染为B