专题--数列求和的基本方法和技巧(师).doc

专题讲座——数列求和的基本方法和技巧 ★数列在高考中的要求： 1．等差数列与等比数列是两种最基本、最重要及应用最广泛的数列，其他数列问题的解决往往借助它们完成，或经过变形转化为等差或等比数列，或利用等差、等比数列的研究方法。所以等差数列与等比数列的基础知识是数列中最基本、最重要也最易把握的知识。 2．数列的通项是数列最重要、最常见的表达形式，它是数列的核心。应弄清通项公式的意义——项数的函数；理解通项公式的作用——可以用通项公式求数列的任意一项的值及对数列进行一般性的研究。 3．数列的递推式是数列的另一种表达形式，可以是一阶线性递推、二阶线性递推、二次函数形式递推、勾函数形式递推、与奇偶联系的递推等，是高考的热点。要注重叠加、叠乘、迭代等解题技巧的训练。 4．数列求和的问题往往和其他知识综合在一起，综合性教强。数列求和就显得特别重要，数列求和就需要根据数列的特点选择最适合的方法，那么必须掌握几种常用的数列求和方法。 5．自从文科不考数学归纳法以来，数学归纳法几乎成了一个理科必考的内容。而且常常和放缩法、函数单调性、构造法等联系在一起，能力要求较高。 6．纵观近几年的高考，每年都有求极限的题目。常以选择题、填空题的形式命题，有时也作为某一大题的某一问出现，难度不大。 7．数列的应用极其广泛，因此尽管现在的应用题多为概率统计，但不排除考数列应用题的可能，也有可能是数列与概率交汇。 8．数列常与函数、不等式、解析几何、立体几何、导数、三角、向量、二项式等知识联系在一起，以它的复杂多变、综合性强、解法灵活等特征成为高考的中档题或压轴题。 一、利用常用求和公式求和 等差数列求和公式： 2、等比数列求和公式： 4、 [例1] 已知数列，（x≠0），数列的前n项和，求。 解：当x=1时， 当x≠1时，为等比数列，公比为x 由等比数列求和公式得 （利用常用公式） ＝ 【巩固练习】1：已知数列的通项公式为，为的前n项和， （1）求； （2）求的前20项和。 解： 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·　bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. [例2] 求和：………（） 解： 当x=1时， 当x≠1时， ………………. ① ①式两边同乘以x得 ………② （设制错位） ①－②得 （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得： ∴ 【巩固练习】2：求数列前n项的和. 解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积 设…………………………………① ………………………………② （设制错位） ①－②得 （错位相减） ∴ 三、反序相加法求和 这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个. [例3] 求证： 证明： 设………………………….. ① 把①式右边倒转过来得 （反序） 又由可得 …………..…….. ② ①+②得 （反序相加） ∴ 【巩固练习】3：求的值 解：设…………. ① 将①式右边反序得 …………..② （反序） 又因为 ①+②得 （反序相加） ＝89 ∴ S＝44.5 四、分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.形如：的形式，其中{ an }、{ bn }是等差数列、等比数列或常见的数列. [例4] 求数列的前n项和：，… 解：设 将其每一项拆开再重新组合得 （分组） 当a＝1＝ （分组求和） 当时，＝ 【巩固练习】4：求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和. 解：设 ∴ ＝ 将其每一项拆开再重新组合得 Sn＝