机械振动基础 第五章 随机振动.pptx

第五章 随机振动;——但随机振动服从概率统计规律，因此随机振动的振动规律可以而且只能用概率统计方法描述，只能满足于知道物理量的统计值。因此，与确定性振动不同的是，只能知道振动系统激励和响应的统计值（非准确值）。 本章讲述随机振动中最基本的理论。 ——首先，介绍描述随机振动中的物理量的描述方法，也就是随机振动的数学理论，重点是随机振动中极为重要的相关函数和功率谱密度函数。 其次，讨论受随机激励的振动系统的激励、系统特性、响应三者之间的关系。 ;§5.1 随机过程 ;以汽车平顺性试验为例，具体看一个随机过程： ;——如果我们测出了n个样本函数，就意味着已经知道了随机过程a(t)的n个“实现”。但对没有“实现”的样本函数，还是无法知道它们随时间变化的情况。 ;——从已知的样本函数ar(t)找出的随机过程a(t) 变化规律，只能是统计意义上的。 ——另外，在理论上，样本函数ar(t)的定义域为 但在实际中我们只能得到ar(t)在一段时间限有限区间上的值，如在区间0≤t≤T内样本函数的情况：ar(t)， ，这称为随机过程a(t)的一个记录。 ;任何一个随机过程X(t)是一系列(一般是无穷多个)样本函数的集合，记为：;显然，随机过程有无穷多个随机变量。从这点看，随机过程又可被认为是由无穷多个随机变量构成的随机变量系。要注意的是，这些随机变量之间是有密切联系的。 ;§5.2 随机过程的数字特征 ;描述随机过程的统计量规律的常用方法： 1)用n维概率分布函数在时域描述随机过程； 2) 用n维概率密度函数由集合描述随机过程。 即：根据随机过程的样本函数和随机变量系的概率分布函数或概率密度函数描述随机过程。 ;1．均值：数学期望。 ;随机变量X(t1)的均值＝X(t1)的数学期望。因此有： ;随机过程X(t)的任一个样本函数xr(t) 的样本平均（时域均值）： ;2．方差 ;对等概率的样本函数，方差可以写成 ;随机过程X(t)的任一个样本函数xr(t) 的时域方差： ;3）自相关函数、互相关函数 ;对于具有相同二维概率密度函数的样本函数，自相关函数可以写成 ;对两个随机过程X(t)、Y(t)，设X(t1)是X(t)在tl时刻的随机变量，Y(t2)是Y(t)在t2时刻的随机变量，则：定义X(t)、Y(t)的互相关函数为： ;;§5.3 平稳过程和各态历经过程 ;平稳过程的一维概率密度函数和概率分布函数均与所选取的时刻无关，因此一般将它们写成p(x)和P(x)。 对于二维概率密度函数，因为有 ;因此，平稳过程的二维概率密度函数只与所取的两个时刻tl，t2的时差t＝t2-t1有关，可以写成;平稳过程的数字特征的性质 ： ;满足上面三条性质的随机过程称为 “宽平稳” 过程。 满足定义的随机过程称为“严平稳”随机过程。 “严平稳”随机过程的，它必然是“宽平稳”的。反之，“宽平稳”的随机过程则不一定是“严平稳”的平稳过程。本书中的平稳过程均指“宽平稳”的平稳过程。 ;如果随机过程X(t)，Y(t)均是平稳随机过程，则X(t)，Y(t)的互相关函数也只是单变量时差?的函数。 ;2) 各态遍历过程 ;随机过程的数字特征的时间平均结果与集合平均结果相等。因而，随机过程X(t)的集合平均可通过样本平均得到。 ;如果X(t)是各态遍历过程，则用x(t)表示它的任一个样本函数，不再附加下标。它的数字特征用x(t)表示为;§5.4 正态随机过程 ;2) 两个各态遍历正态过程X(t)、Y(t)的二维概率密度函数;对均值?x为零的正态过程X(t)，它在区间(-3?x，3?x)以外取值的概率为0.27%。因此，它的最大值可取为3?x。 在工程中，大量的随机振动可以认为是正态随机振动。 ;§5.5 相关函数 ;;即;也可以把Y看成自变量，用拟合方程X＝?Y+?求X。用与上面相同的方法，可以求出a，b为： ;如果如果X，Y之间有准确的相关性(线性关系)，这两个表达式必须相同，即必须有 ;5.5.2 自相关函数 ;典型的自相关函数 ：;随机过程往往是各种不同性质的随机过程的组合，利用周期性，可由自相关函数检出平稳随机过程中的周期成份。 ;5．如果随机过程不是周期过程，则有 ：;自相关函数与功率的联系 设正弦函数随机过程： ;如果交流电电路中的电压和电流分别为 ;自相关函数Rx(?)包含了正弦随机过程的幅值、频率信息，但不包含相位信息。 ;若随机过程是周期的，则样本函数也是周期的。它的傅里叶级数为 ;5.5.3 互相关函数 ;互相关函数描述了两个不同随机过程间的线性依赖关系。 ;互相关函数的性质 ;4. 若X(t)和Y(t)是相互独立的随机过程，则X(t)和Y(t)不相关，即 ;§5.6 功率谱密度函