数字信号课后题目答案摘选.doc
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4． 对题1图给出的x(n)要求： (1) 画出x(－n)的波形； (2) 计算xe(n)= ［x(n)+x(－n)］， 并画出xe(n)波形； (3) 计算xo(n)= ［x(n)－x(－n)］， 并画出xo(n)波形; (4) 令x1(n)=xe(n)+xo(n), 将x1(n)与x(n)进行比较， 你能得到什么结论？
解：（1） x(－n)的波形如题4解图（一）所示。
(2) 将x(n)与x(－n)的波形对应相加， 再除以2， 得到xe(n)。 毫无疑问， 这是一个偶对称序列。 xe(n)的波形如题4解图（二）所示。
(3) 画出xo(n)的波形如题4解图（三）所示。
(4) 很容易证明：
x(n)=x1(n)=xe(n)+xo(n)
上面等式说明实序列可以分解成偶对称序列和奇对称序列。 偶对称序列可以用题中(2)的公式计算， 奇对称序列可以用题中(3)的公式计算。
5． 设系统分别用下面的差分方程描述， x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出， 判断系统是否是线性非时变的。
（1）y(n)=x(n)+2x(n－1)+3x(n－2)
（2）y(n)=2x(n)+3
（3）y(n)=x(n－n0) n0为整常数
（4）y(n)=x(－n)
（5）y(n)=x2(n)
（6）y(n)=x(n2)
（7）y(n)=
（8）y(n)=x(n)sin(ωn)
解： （1） 令输入为
x(n－n0)
输出为
y′(n)=x(n－n0)+2x(n－n0－1)+3x(n－n0－2)
y(n－n0)=x(n－n0)+2x(n—n0—1)+3(n－n0－2)
=y′(n)
故该系统是非时变系统。 因为
y(n)=T［ax1(n)+bx2(n)］
=ax1(n)+bx2(n)+2［ax1(n－1)+bx2(n－1)］
+3［ax1(n－2)+bx2(n－2)］
T［ax1(n)］=ax1(n)+2ax1(n－1)+3ax1(n－2)
T［bx2(n)］=bx2(n)+2bx2(n－1)+3bx2(n－2)
所以
T［ax1(n)+bx2(n)］=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］
故该系统是线性系统。
（2） 令输入为
x(n－n0)
输出为
y′(n)=2x(n－n0)+3
y(n－n0)=2x(n－n0)+3=y′(n)
故该系统是非时变的。 由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=2ax1(n)+2bx2(n)+3
T［ax1(n)］=2ax1(n)+3
T［bx2(n)］=2bx2(n)+3
T［ax1(n)+bx2(n)］≠aT［x1(n)］+bT［x2(n)］
故该系统是非线性系统。
(3) 这是一个延时器， 延时器是线性非时变系统， 下面证明。 令输入为
x(n－n1)
输出为
y′(n)=x(n－n1－n0)
y(n－n1)=x(n－n1－n0)=y′(n)
故延时器是非时变系统。 由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n－n0)+bx2(n－n0)
=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］
故延时器是线性系统。
(4) y(n)=x(－n)
令输入为
x(n－n0)
输出为
y′(n)=x(－n+n0)
y(n－n0)=x(－n+n0)=y′(n)
因此系统是线性系统。 由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(－n)+bx2(－n)
=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］
因此系统是非时变系统。
（5） y(n)=x2(n)
令输入为
x(n－n0)
输出为
y′(n)=x2(n－n0)
y(n－n0)=x2(n－n0)=y′(n)
故系统是非时变系统。 由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=［ax1(n)+bx2(n)］2
≠aT［x1(n)］+bT［x2(n)］
=ax21(n)+bx22(n)
因此系统是
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