数值分析与chap4 .ppt

2. 预备知识 Preliminary 满足函数方程 f(x)=0 的x称为方程(1)的根，或称为函数f(x)的零点。如果函数?(x)可分解为 ?(x)=(x?s)mg(x) 且g(s )?0,则称s是?(x)的m重零点或?(x)=0的m重根。当m=1时，称s是?(x)的单根 或单零点。 若f(x)不是x的线性函数, 则称(1)为非线性方程, 特别地, 若f(x)是n次多项式，则称(1)为n次多项式方程或代数方程；若f(x)是超越函数，则称(1)为超越方程。 定理1.(根的存在定理) 假设函数y=f(x)?C?a,b?,且f(a)·f(b)0, 则至少存在一点x ?(a,b)使得f(x )=0. (并称区间(a,b)为有根区间). 定理2 假设函数y=f(x)在?a,b?上单调连续,且f(a)·f(b)0, 则恰好只存在一点x ?(a,b)使得 f(x )=0 定理3 假设函数y=f(x)在x=s的某一邻域内充分可微，则s是方程f(x )=0的m重根的充分必要条件是 求根的区间(1) 画图法(2) 逐步搜索法 画出y = f (x)的略图，从而看出曲线与x轴交点的大致位置。 也可将f (x) = 0分解为?1(x)= ?2(x)的形式， ?1(x)与 ?2(x)两曲线交点的横坐标所在的子区间即为含根区间。 例如xlgx –1 = 0 可以改写为lgx=1/x 画出对数曲线y=lgx,与双曲线y= 1/x,它们交点的横坐标位于区间[2,3]内 对于给定的f (x)，设有根区间为[A,B]，从x0=A出发，以步长h=(B-A)/n(n是正整数)，在[A,B]内取定节点：xi=x0＋ih (i=0，1，2，…，n)，从左至右检查f (xi)的符号，如发现xi与端点x0的函数值异号，则得到一个缩小的有根子区间［xi-1,xi］。 用逐步搜索法进行实根隔离的关键是选取步长h 要选择适当h ，使之既能把根隔离开来，工作量又不太大。 （1）x0=a (2) 若f(x0)·f(x0 +h)0,则[x0 , x0 +h]为含根子区间，取x0 或 x0 +h为初始近似根，否则转（3）。 （3） x0 = x0 +h ，转（2）。 3. 二分法 Bisection 常用的求根方法分为区间法和迭代法两大类。 给定方程f(x)=0,设f(x)在区间[a,b]连续,且f(a)f(b)0,则方程f(x)在(a,b)内至少有一根,为便于讨论,不妨设方程f(x)=0在(a,b)内只有一个(重根视为一个)实根，求满足精度要求的近似值实根。 二分法概念及基本思想 概???念： 二分法也称对分区间法、对分法等， 是最简单的求根方法，属于区间法求根类型。 基本思想：利用连续函数的零点定理，将含根区 间逐次减半缩小，就可以构造出收敛点列 来 逼近根x。 构 造 原 理 定理1.(根的存在定理) ?????? 这个原理指出了根的存在区间可由两端点处的函数值是否反号确定，那么注意到，将含根区间分为两个长度相等的子区间后，在这两个子区间上也可利用零点原理确定根在那个子区间上，如此继续下去就达到将含根区间逐步缩小的目的，此时，在这一些相互包含的子区间中构造收敛的数列x_k将它收敛于根x ，见下图?? 详细过程 the process of Bisection method Because 二分法的优缺点(Advantages and drawbacks) 简单并保证收敛; always converges 对f (x) 要求不高(只要连续即可) . f is only required to be continuous 无法求复根 和偶重根 收敛慢 (仅与一个以 1/2为比值的等比级数相同) converge slowly 调用一次求解一个[a, b]间的多个根无法求得 确定根所在的范围［a,b］对有的函数也是一 件困难的事。所幸的是，在实际应用中，根 据其物理或工程的背景，在绝大部分场合是 不困难的。对给定的函数也有确定范围的方 法。 Example: 求方程 二分法是计算机上的一种常用算法，计算步骤如下：  不动点迭代法 Fixed-Point Iteration 迭代过程的几何表示 需要讨论的问题 Problem 首先期望每个xk都在? (x)的定义域上,保持有界而且收敛到精确解; 如何选取适合的迭代函数? (x) ; 迭代函数? (x)迭代满足什么条件,迭代序列收敛到精确解, 收敛速度如何; How to c