类比推理在数学解题中的“六类”.doc

类比推理在数学解题中的“六类” 著名数学家波利亚曾指出：“类比是某种类型的相似性，是一种更确定的和更概念性的相似”类比是从已经解决的问题和已经获得的知识出发，提出新问题和作出新发现的一个重要源泉，是一种较高层次的信息迁移，它是由特殊到特殊的推理． 类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征、明确的类比关系，所以运用类比的关键是确定类比对象，而确定类比对象的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象．不能让类比仅仅停留在叙述方法或结构形式等外层表象上，还需要对数学结论的运算变形、思想方法、思维策略、推理过程等深入层面寻求内在关联，开展多角度、全方位的类比探析活动．由于类比推理的逻辑根据是不充分的，带有或然性，具有猜测性，不一定可靠，不能作为一种严格的数学方法，因此还须经过严格的逻辑论证，才能确认其猜测结论的正确性．本文由问题出发，从定义生成类比、属性关系类比、降维减元类比、结构形式类比、思想方法类比、无限有限类比等六个不同角度层面，针对如何进行类比推理，做些分类探究解析的有益尝试，培养学生运用类比进行合情推理的能力． 一、定义生成类比 问题1：若定义集合A与B的运算：,试写出成立的等式． 探究：一个抽象的集合问题，利用已有的集合知识，借助于韦恩图，通过类比问题，进行探索，可发现一些含有新定义集合运算关系的等式．若记，如图1中阴影部分所示，则类比得＝B，所以． 问题2：试指出三角形在空间的类比 探究：①、由数目最少的简单分界元素所围成的几何图形来说，在平面上，两条直线不能围成一个有限的封闭图形，然而三条直线可以围成一个三角形；在空间里三个平面不能围成一个有限的封闭几何体，然而四个平面可以围成一个四面体．因此，四面体可以看成三角形在空间的类比．例如：由三角形的三条内角平分线相交于一点，这就是三角形内切圆的圆心，即生成内心.我们类比猜测：四面体的六个内二面角的平分面也相交于一点，而且这就是四面体内切球的球心，即不妨也称之为生成内心（如图2）同样地可否类比猜测：四面体的生成外心、垂心、重心等等． ②、从直接生成的角度去考虑，棱锥可以看成三角形在空间的类比，如果三角形可以看成将线段（所在直线）外的一点与线段上的各点用线段相连所生成的平面图形，那么棱锥就可以看成将多边形（所在平面）外的一点与多边形上各点用线段相连所生成的空间图形．（如图3）． 二、属性关系类比 问题3：过双曲线的右焦点F（c，0）的直线交双曲线于M、N两点，交y轴于P点，设（如图4），则为定值．试写出关于椭圆的相似结论，并加以证明． 探究：探索圆锥曲线中的定值问题，可考虑特殊位置，利用特殊方法进行投石问路，找到定值．对于双曲线，当该直线过原点这个特殊位置时，直线与x轴重合，则点，,,,,,由题设可得，其中.于是（定值）．由于椭圆与双曲线有很多相类似的属性关系，因此，可类比双曲线的这一结论以及获得的这个定值的特殊方法，寻找其中变与不变的规律．同理，对于椭圆也得到（定值），其中．关于椭圆的相似结论：过椭圆的右焦点的直线交椭圆于M，N两点，交y轴于P点，设（如图5）.则为定值．现用一般方法给出严格证明如下：设此直线方程为（斜率k存在），则点．设两交点，得，由得，．同理：，则 ①，由消去y ,整理得，当时，由韦达定理得，将此两式代入①得（定值），得证． 降维减元类比 问题4：在四面体ABCD内部有一点O，使得AO、BO、CO、DO 与 四面体的四个面BCD、CDA、DAB、ABC分别交于 四点，且满足（如图6），试求k的可能值． 探究：在三维空间，立体几何中的四面体，可以降到二维或一维空间，与平面几何中的三角形类比，四面体的面可以与三角形的边类比，对应地，体积与面积类比，面积与线段长类比等．于是，原问题经降维减元类比可以从“在三角形内部有一点O，使得直线AO、BO、CO与三角形的三条边BC、CA、AB分别交于三点，且满足（如图7）．试求k的可能值．”的推理过程探求解题途径．在平面几何中，因为同底三角形的面积比为对应的高之比，等于相似比，所以，，，于是．得，故．根据上述利用面积关系求解思路推理的启发，在空间四面体中，可转化为利用体积关系进行类比来推理．在四面体中，因为同底四面体的体积比为对应的高之比，等于相似比，所以，，，，于是，得，故． 四、结构形式类比 问题5：任给7个实数xk(k=1,2,3,…,7),能否求证其中有两个实数xi、xj,满足不等式． 探究：此问题若从待证不等式出发，转化为不等式组求证，容易陷入复杂的分类与讨论之中，即第一类讨论任给7个实数中有某两个实数相等，结论显然成立；第二类讨论7个实数互不相等，则难以下手．但经过联想观察可发现：与两角差的正切公式在结构形式上极为相似．因此，可以作适当的代换（k＝1,2,3…,7），与正切公式作类比