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透视投影的原理和实现 by Goncely 摘 要 ：透视投影是3D渲染的基本概念，也是3D程序设计的基础。掌握透视投 影的原理对于深入理解其他3D渲染管线具有重要作用。本文详细介绍了透视投 影的原理和算法实现，包括透视投影的标准模型、一般模型和屏幕坐标变换等 ，并通过VC实现了一个演示程序。 1 概述 在计算机三维图像中，投影可以看作是一种将三维坐标变换为二维坐标的 方法，常用到的有正交投影和透视投影。正交投影多用于三维健模，透视投影 则由于和人的视觉系统相似，多用于在二维平面中对三维世界的呈现。 透视投影（Perspective Projection）是为了获得接近真实三维物体的视觉效果而在二维的纸或者画布 平面上绘图或者渲染的一种方法，也称为透视图[1] 。它具有消失感、距离感、 相同大小的形体呈现出有规律的变化等一系列的透视特性，能逼真地反映形体 的空间形象。透视投影通常用于动画、视觉仿真以及其它许多具有真实性反映 的方面。 2 透视投影的原理 基本的透视投影模型由视点E和视平面P两部分构成（要求E不在平面P上） 。视点可以认为是观察者的位置，也是观察三维世界的角度。视平面就是渲染 三维对象透视图的二维平面。如图1所示。对于世界中的任一点X，构造一条起 点为E并经过X点的射线R，R与平面P的交点Xp即是X点的透视投影结果。三维世 界的物体可以看作是由点集合 { Xi} 构成的，这样依次构造起点为E，并经过 点Xi的射线Ri，这些射线与视平面P的交点集合便是三维世界在当前视点的透视 图，如图2所示。 图1 透视投影的基本模型[2] 图2 透视图成像原理[6] 基本透视投影模型对视点E的位置和视平面P的大小都没有限制，只要视点 不在视平面上即可。P无限大只适用于理论分析，实际情况总是限定P为一定大 小的矩形平面，透视结果位于P之外的透视结果将被裁减。可以想象视平面为透 明的玻璃窗，视点为玻璃窗前的观察者，观察者透过玻璃窗看到的外部世界， 便等同于外部世界在玻璃窗上的透视投影（总感觉不是很恰当，但想不出更好 的比喻了）。 当限定P的大小后，视点E的可视区间（或叫视景体）退化为一棱椎体，如 图3所示。该棱椎体仍然是一个无限区域，其中视点E为棱椎体的顶点，视平面P 为棱椎体的横截面。实际应用中，往往取位于两个横截面中间的棱台为可视区 域（如图4所示），完全位于棱台之外的物体将被剔除，位于棱台边界的物体将 被裁减。该棱台也被称为视椎体，它是计算机图形学中经常用到的一个投影模 型。 图3 有限视平面的可视区间[3] 图4 透视投影的视椎体模型[3] 3 透视投影的标准模型 设视点E位于原点，视平面P垂直于Z轴，且四边分别平行于x轴和y轴，如图 5所示，我们将该模型称为透视投影的标准模型，其中视椎体的近截面离视点的 距离为n，远截面离视点的距离为f，且一般取近截面为视平面。下面推导透视 投影标准模型的变换方程。 图5 透视投影的标准模型[4] 设位于视椎体内的任意一点X (x, y, z) 在视平面的透视投影为Xp (xp, yp, zp)，从点X和Xp做z轴的垂线，并分别在X-Z平面和Y- Z平面投影，图6是在X-Z平面上的投影结果。 图6 透视投影的相似三角形[6] 根据三角形相似原理 ， 可得 ： xp/n = x/z, yp/n = y/z 解上式得 ： xp = x*n/z, yp = y*n/z, zp = n. 上式便是透视投影的变换公式，非常简单，不是吗？需要说明的是，由于 透视点始终位于视平面，所以zp恒等于n，实际计算的时候可以不考虑zp。另外 还可以从照相机模型来考虑透视投影。将视点E想象为一个虚拟的照相机，视平 面想象为胶片，那么图5 也是一个标准的照相机模型。 PS：上述讨论都是基于矩形视平面来考虑的，其实我们可以取视平面为任 意形状，比如圆形，此时视景体变为一个圆锥体，当然现在好像还没有圆形