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几种特殊行列式的巧算 摘要：在高等代数课程中，n阶行列式的计算问题非常重要，它是行列式理论的重要组成部分。计算n阶行列式的一般方法有：按行（列）展开,化三角行列式法，降阶法等。对于这些解法，高等代数课本已做了详细介绍，本文重点探索关于三对角，爪型等具有一定特征的行列式的计算，跟几种具有特殊解法的行列式（如范德蒙行列式）计算，突出一个“巧”字，从而提高解题速度。 关键词：“三对角”行列式 分离线性因子法 “爪型”行列式 范德蒙行列式等. 引言： n阶行列式 是所有取自不同行、不同列的n个元素的乘积的代数和，其中是一个n阶排列，每个项前面带有正负号.当是偶排列时，项前面带有正号，当是奇排列时，项前面带有负号.即 = 这里表示对所有的n阶排行求和. 行列式的计算是高等代数的一个重要内容，同时也是在工程应用中具有很高价值的数学工具，本文针对行列式的几种特殊类型，给出了每一种类型特殊的计算方法，具体如下： 一 三对角行列式的计算 形如 的行列式称为“三对角”行列式.该类行列式的计算方法有：猜想法, 递推法, 差分法.下面我们首先用猜想法来解一下这个行列式. 当时 =. 即有递推关系式 ,为了得到的表达式,可先设,采用以下的归纳法: 由此我们可以猜想: 下面用数学归纳法对上面的猜想进行证明． 当时上式显然成立．假设当阶数小于时公式成立．下面证明当阶数等于时也成立． 所以由数学归纳法可知. 当时 注：猜想法证明行列式，分两步进行，第一步是猜想出行列式的值，第二步是证明猜想的正确性. 由此看出用猜想法解这类型行列式并不简单.下面给出一种巧妙的算法: 差分法. 解：由,令,. 由特征方程得两特征根为：,. 当时 则. 当时 则. 由此看出解三对角行列式用差分法比用猜想法更简单快捷，因此我们在今后的计算中一定要很好的掌握这种方法. 二 分离线性因子法 因行列式的结果其实就是一个数，若其中含有字母或是未知数，也就是一个多项式，而多项式与方程则是紧密相连的。以下来介绍用方程的解的方法来计算行列式---分离线性因子法. 这种方法是把行列式D看成关于某一字母a的多项式，然后对行列式实行某些变换，求出的互素的线性因式，使与这些线性因式之积只相差一个常数因子k,由多项式相等的定义，比较与的某一项的系数，求出k的值，从而得解，对于含有n个变量的行列式也可作类似处理.下面给出一个例子： 例1 计算 解：把D看成关于a的4次多项式，令D=. 因为=（a+b+c+d） 所以（a+b+c+d）|，同理（a+b-c-d）|, （a+c-b-d）|,（a+d-b-c）|. =k（a+b+c+d）（a+b-c-d）（a+c-b-d）（a+d-b-c） 又的系数为1，所以k=1.( 未完：对于含有n个变量的行列) 三 各行（列）元素相等行列式的计算 　　　　　　　 对于各行（列）元素相等行列式的计算，在高等代数课本中已经给出了化三角形这种解法，下面给出它的解答过程： 将行列式的第列加到第１列上，然后把提取出来，并把第1列的-1倍加到第行上可得： 这是一种常规的做法，这里不再做更进一步的研究，下面给出另一种解法：加边法. 这种方法是把n阶行列式适当的添加一行一列，得到一个其值不变的并易求出的n+1阶行列式.这种方法表面上看起来把问题复杂化了，但只要加边加的巧妙，反而会有意想不到的效果. 行列式的加边法是为了将行列式降阶作准备的，更有利于将行列式化成上三角的形式，其加边的元素，也可根据计算的难易程度来确定，具有随意性. 将行列式的第行乘以加到第１行，可得到： 我们还可以利用矩阵行列式公式来求解这类型题： 令矩阵 则可得： 其中， 又 可得：. 问题推广： 当上面的行列式的主对角线上的元素为n个任意数，可得一般的行列式： 下面我们用加边法进行计算。 = 特别地，当时,. 关于各行（列）元素相等行列式的计算，还有递推法、归纳法和利用矩阵特征值与行列式的关系这些方法，这里就不一一列举了. 四 范德蒙行列式的另一种计算 首先来证明一下范德蒙行列式的标准形式： () 当时，结论成立。 假设对结论成立，即 作辅助行列式 不难看出，是一个次多项式，并且它是个根：因此,其中k为待定常数。由于k为的系数，而由（1）式可知的系数为，所以 又 所以 （） 下