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大学数学基础教程（微积分 1-4 章）习题答案 习题 1—1解答 x 1 1 x 1 1．设 f(x, y) = xy+ ，求 f(−x,−y), f( , ), f(xy, ), y x y y f(x, y) 解 x； 1 1 1 y x 2 2 1 y f(−x,−y) = xy+ f( , ) = + ; f( xy, ) = x + y ; = 2 y x y xy x y f( x, y) xy + x 2．设 f(x, y) = ln xln y，证明： f(xy,uv) = f( x, u) + f( x, v) + f( y,u) + f( y, v) f(xy,uv) = ln( xy) ⋅ ln( uv) = (ln x+ ln y)(ln u+ ln v) = ln x⋅ ln u+ ln x⋅ ln v+ ln y⋅ ln u+ ln y⋅ ln v = f(x, u) + f(x, v) + f( y, u) + f( y,v) 3．求下列函数的定义域，并画出定义域的图形： 2 2 （1） f(x, y) = 1 − x + y −1; 4x− y2 （2） f(x, y) = 2 2 ; ln( 1− x − y ) 2 2 2 （3） f(x, y) = 1 − x2 − y2 − z2 ; a b c x+ y+ z （4） f(x, y, z) = . 2 2 2 1 − x − y − z 解（1） D={( x, y) x ≤ 1, y ≥1 } y 1 -1 O 1 x -1 1 2 2 2 y （2） D= {(x, y) 0 x + y 1, y ≤ 4x } 1 -1 O 1 x -1 ⎧ x2 y2 z2 ⎫ （3） D= (x, y) + + ≤ 1 ⎨ 2 2 2 ⎬ z ⎩ a