初中几何练习试题一题多解.doc

（题解仅供参考） 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°,∠ACB=15°AB=1.求AC=? 解法1 解：在BC上取一点D，连接AD，使AD=DC. ∵AD=DC,∠ACB=15°. ∴∠ADB=30° ∵∠ABC=90° ∴AD=DC= EQ \F(AB,sin30°) = eq \f(1, eq \f(1,2) ) =2 BD= EQ \F(AB,tan30°) == ∴BC=BD+DC=2+ 在Rt△ABC中，根据勾股定理 AC===+ 解法2 解：延长CB到D, 使DB=AB,以D点为端点过A点做射线DA．过C点做CE⊥DA交DA于E. ∵AB=DB=1,∠ABC=90°. 在Rt△ABD中，根据勾股定理 AD==, 且∠D=45° ∵∠D=45°，CE⊥DA ∴∠ECB=45°, ∵∠ACB=15°, ∴∠ECA=30°, 设AC=x，则AE= eq \f(x,2) (在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半)， EC=DE=DA+AE=+ eq \f(x,2) 在Rt△AEC中，根据勾股定理 AE2+EC2=AC2 ( eq \f(x,2) )2+(+ eq \f(x,2) )2=x2 x2-2x-4=0 x1=-（舍） x2=+ 解法3 解：延长CB，在延长线上取点D,以点D为顶点，过A点作∠BDA=30°,过C点作CE⊥射线DA交DA于点E. ∵∠BAD=30°,∠ABD=90°,AB=1 ∴AD=2 ∵∠BDA=30°,CE⊥DA,∠ACB=15°, ∴∠ACE=45°, 设AC=x AE=EC=AC·sin45°=x DE=AD+AE=2+x tan30°=EC:DE =x:(2+x) x=+ 解法4 解：延长CB，在延长线上取点D,以点D为顶点，过A点作∠BDA=60°,过C点作CE⊥射线DA交DA于点E. ∵∠BDA=60°,∠ABD=90°,AB=1 ∴AD= EQ \F(AB, sin60°) = ∵∠BDA=60°,CE⊥DA, ∴∠BCE=30°, ∵∠ACB=15° ∴∠BCA=∠ACE=15° 且∠ABC=∠AEC=90°，AC=AC ∴△ABC≌△AEC ∴BC=EC, AE=AB=1 DE=1+ EC=DE·tan60°=(1+)=2+ 在Rt△AEC中，根据勾股定理 AE2+EC2=AC2 AC2=12+(2+)2 AC1=-（舍） AC2=+ 解法5 解：以BC为边做正方形BCDE,且AB在正方形的另一条边上。 在ED上取点F,使DF=AB,连接FC,AF. ∵四边形BCDE为正方形，且DF=AB ∴AE=EF ∴∠EAF=∠EFA=45°, ∵FD=AB,∠D=∠B,BC=DC ∴△ABC≌△FDC ∴FC=AC ∠ACB=∠FCD=15° ∴∠ACF=90°-15°-15°=60° ∴△ACF为等边三角形， ∴AC=AF 设AC=AF=x， ∴AE=AF·sin45°=x·=x ∵AB=1 BC=EB=EA+AB=x+1 在Rt△ABC中，根据勾股定理 AB2+BC2=AC2 12+(x+1)2=x2 x2-2x-4=0 x1=-（舍） x2=+ 解法6 解：以BC为边做△BCD使△ABC≌△DBC. 在DC上取一点F，连接AF，使AF=FC. 过D点做DE⊥AF交AF于E ∵△ABC≌△DBC且∠ACB=15° ∴∠BCD=∠ACB=15°. 且AC=DC ∴∠ACD=30°. ∵AC=DC ∴∠CAD=∠ADC=75° ∵AF=FC且∠ACD=30°， ∴∠CAF=30°, ∴∠DAE=45°, ∵△ABC≌△DBC, ∴AB=AD=1 ∴AD=2 ∵DE⊥AF,∠DAE=45°, ∴∠ADE=45°, AE=DE=AD·sin45°=2·= ∴∠EDF=∠ADC-∠ADE=75°-45°=30° EF=ED·tan30°=·= DF= eq \f(ED,con30°) =2 FC=AF=AE+EF=+ AC=DC=FC+DF=++2=+ 解法7 解：延长AB到D，连接DC使∠BCD=30°, 过A点做AE⊥DC交DC于E. ∵∠DBC=90°.∠BCD=30°,∠ACB=15°, ∴∠D=60°,∠ACE=45°. 设AC=x AE=AC·sin45°=x AD= EQ \F(AE, sin60°) =x ∵AB=1 BD=AD-AB=x-1 BC=BD·tan60°=(x-1)=x- 在Rt△ABC中，根据勾股定理 AB2+BC2=AC2 12+(x-)2=x2 x2-2x+4=0 x1=-（舍） x2=+ 解法8 解：延长AB到D，连接DC使∠BCD=45°, 过A点做AE⊥DC交DC于E. ∵∠BCD=45°,∠ACB=15°, ∴∠ACE=60