华东师范大学高等代数历年真题(1997年-2002年).doc

华东师范大学1997年攻读硕士学位研究生入学试题 一.（10分）计算下列行列式： 二.（15分）设，求正交矩阵T，使为对角形矩阵，并写出这个对角形矩阵. 三.(15分)设是复矩阵. 1.求出A的一切可能的Jordan标准形； 2.给出A可对角化的一个充要条件. 四.(15分)已知3阶实数矩阵满足条件，其中是的代数余子式，且，求： 1. 2.方程组的解. 五.（15分）证明：一个非零复数是某一有理系数非零多项式的根存在一个有理系数多项式使得 六.（15分）设A是n阶反对称阵。证明： 1.当n为奇数时|A|=0.当n为偶数时|A|是一实数的完全平方; 2.A的秩为偶数 . 七.（15分）设V是有限维欧氏空间.内积记为.又设是V的一个正交变换。记，求证： 1.是v的子空间; 2. 八.（15分）设n阶实数方阵的特征值全是实数且A的所有1阶主子式之和为0，2阶主子式之和也为0.求证： 九.（15分）设A，B均是正定矩阵，证明： 1 .方程的根均大于0； 2 .方程所有根等于1A=B. 华东师范大学1998年攻读硕士学位研究生入学试题 一.（10分）计算下列行列式: 二.(10分)证明：方程组的解全是方程的解的充分必要条件是：可由向量组线性表示，其中 三（15分）设是整系数多项式，证明：若ac+bc为奇数，则f(x)在有理数域上不可约. 四（15分）设A是非奇异实对称矩阵，B是反对称实方阵。且AB=BA。证明：A+B必是非奇异的。 五（15分）A为阶方阵，是A的特殊多项式。并令（称为的一阶微商）。 证明：A与一个对角矩阵相似的充要条件是。 六（15分）假设A是维欧氏空间V的线性变换，是同一空间V的变换。且对有 证明：1 是线性变换。 2 的核等于的值域的正交补。 七（15分）证明：任意方阵可表为两个对称方阵之积，其中一个是非奇异的。 八（15分）设f(x)为数域P上多项式，且有又设D为P上N维线性空间。为V的一个线性变换。K为的核，为的核，为的核。 证明： 九（15分）设是阶实方阵A的任一特征值。是实数。如的个特征值是。证明：必有（是A的转置矩阵）。 华东师范大学1999年攻读硕士学位研究生入学试题 一（15分）计算行列式： 二（15分）设P是一个素数，多项式证明：在有理数域上不可约。 三（15分）设与相似， （1）求的值。 （2）求一个正交矩阵T，使 四（15分）设A是实矩阵，是A的转置矩阵，求证： （1）与A的秩相等。 （2）当A是满秩时，是正定的。 五（20分）设A是阶方阵，证明： （1）A的特征多项式与A的最小多项式的根相同。 （2）若A的特征根互异，则。 六（20分）设V是数域F上任一线性空间，A是V上一个线性变换，是数域F上一元多项式的集合。 证明：设是的最大公因式，则 其中是的核。 七（20分）设维欧氏空间V的线性变换满足 证明：的迹（即在V的某一基下对应矩阵的迹数）等于零。 华东师范大学2000年攻读硕士学位研究生入学试题 一（15分）已知下列非齐次线性方程组（1）（2） （1） （2） 1 求方程组（1），用其导出组的基础解系表示通解。 2 当方程组（2）中的参数为何值时，方程组（1）与（2）同解。 二（15分）设阶方阵A，B满足条件A+B=AB。 1 证明：A-E为可逆矩阵，E为阶单位矩阵。 2 证明：AB=BA。 3 已知：，求A. 三（15分）设向量；都是非零向量，且满足条件，令阶方阵。 1 求； 2 矩阵A的特征值和特征向量。 3 说明A是否与对角矩阵相似。 四（15分）求一个可逆线性替换把与同时分别化成标准形。 五（10分）试证：设是正系数多项式，且（P是素数）则不存在整数，使成立。 六（15分）设A是阶半正定矩阵，B是阶正定矩阵。 试证：，且等号成立当且仅当A=0。 七（15分）设是线性空间V的线性变换，试证： 秩=秩的值域与核的交为零空间。即。 华东师范大学2001年攻读硕士学位研究生入学试题 一（15分）计算行列式 二（15分）设,试证： （1）当n为偶数时，线性相关。 （2）当n为奇数时，线性无关线性无关。 三（15分）设为互不相同的整数，证明：多项式在有理数域上不可约。 四（20分）已知：是三个非零的三阶方阵，且，.证明： （1）的特征值只有1和0； （2）属于特征值1的特征向量是属于特征值0的特征向量； （3）若分别是属于特征值1的特征向量。则线性无关。 五（15分）若存在正整数，使（E单位矩阵，A是阶方阵）， 证明：A相似于对角形矩阵。 六（20分）A为阶实矩阵，且 证明：正定A的秩。（为A的转置矩阵） 华东师范大学2002年攻读硕士学位研究生入学试题 一（15分）计算行列式： 二（15分