天津市南开区2025届高三下学期质量监测（一）数学试卷（含答案）.docx
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天津市南开区2025届高三下学期质量监测（一）数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合U=1,2,3,4,5,6,7,8,9,A=2,4,6,8,B=3,6,9
A.3,9 B.2,4,8 C.1,3,5,6,7,9 D.1,2,4,5,6,7,8
2.设x,y∈R，则“x2+y20”是“
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.设a=log0.63,b=0.6
A.bca B.acb C.bac D.abc
4.如图是由一组实验数据得到的散点图，以下四个回归方程类型中适合作为y与x的回归方程类型的是(????)
A.y=ax+b B.y=ax2+b C.y=a
5.已知fx=2ax?
A.?1 B.0 C.1 D.2
6.把函数y=fx图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移π3个单位长度，得到函数y=gx的图象，且y=gx的图象关于点π4,0
A.fx=sinx2?7π12
7.已知函数fx=logaax?1a0,a≠1在2,+∞
A.12,1 B.0,1 C.12
8.如图，在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，P是线段A1
A.2:5 B.1:2 C.1:3 D.1:6
9.设双曲线C:x2a2?y2b2=1a0,b0的左、右顶点分别是A1
A.62 B.213 C.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.i是虚数单位，若复数z=1+i2?aia∈R为纯虚数，则a=
11.若x?2xn的展开式的二项式系数和为32，且x
12.已知圆M:x2+(y?4)2=1与抛物线C:y2=2pxp0的准线相切于点E,F为
13.有编号分别为1,2,3的3个盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球．现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，则从第1个盒子中取到白球的概率是??????????；从第3个盒子中取到白球的概率是??????????．
14.在?ABC中，AB=2,AC=6,∠BAC=2π3，若点M为BC的中点，点N满足AN=12NC，点P为AM与BN的交点，用AB和AC表示BN=??????????
15.已知fx=4?x，若方程2x2+1?fx
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.在?ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a=26
(1)求边b的长；
(2)求sinB
(3)求cos2C?2π
17.如图，在四棱锥P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,AB⊥AD,PA⊥PD,PA=PD，AB=1,AD=2,AC=CD=5,M为棱AP上一点，且
(1)求证：BM//平面PCD；
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
(3)求平面PCD与平面ABC夹角的余弦值．
18.已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴，y轴，且过0,?1,
(1)求E的方程；
(2)过点?4,0，斜率不为0的直线l与椭圆交于A,B两点，点C?1,1，直线AC与x轴交于P，与y轴交于M，直线BC与x轴交于Q，与y轴交于N.若3S?CMN=
19.已知公差大于0的等差数列an的前n项和为Sn，且S3=9,
(1)求an的通项公式及S
(2)记bm为an在区间a2m,2am+1
(i)若Tn+S
(ii)设cn=a
20.已知函数fx=
(1)求曲线y=fx在点e,f
(2)若fx0在区间0,a上恒成立，求实数
(3)若方程fx=m?1x2+xm∈R
参考答案
1.A?
2.B?
3.D?
4.C?
5.C?
6.C?
7.A?
8.D?
9.C?
10.?2?
11.?80?
12.2
13.23?；
14.13AC?AB
15.4
16.(1)因为sinB=2sinC
由余弦定理可得cosA=b2
解得c=2，故b=4．
(2)由cosA=?14及A∈
由正弦定理asinA=
解得sinB=
(3)由(2)得sinC=12
所以sin2C=2
所以cos
=
?
17.(1)取DA中点O，连接OC,OP，因为AC=CD,PA=PD，所以OC⊥AD,OP⊥AD．
又面PAD⊥面ABCD，OP?面PAD，面PAD⊥面ABCD=AD，
所以OP⊥平面ABCD．
以O为原点，OC,OA,OP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则P
所以PD=
设n=x,y,z为平面PCD的一