2018年初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案（有答案）.doc

1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。 　　2.掌握正方形的性质定理1和性质定理2。 　　3.正确运用正方形的性质解题。 　　4.通过四边形的从属关系渗透集合思想。 　　5.通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点。 正方形的性质 　　因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形， 　　所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质（由学生 和老师一起总结）。 　　正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。 　　正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。 　　说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。 　　小结： 　　（1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图 　　（2）正方形的性质： 　　　①正方形对边平行。 　　　②正方形四边相等。 　　　③正方形四个角都是直角。 　　　④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 例1．如图，折叠正方形纸片，先折出折痕，再折叠使边与对角线重合，得折痕，使，求． 【解析】：作GM⊥BD，垂足为M． 由题意可知∠ADG=GDM， 则△ADG≌△MDG． ∴DM=DA=2． AC=GM 又易知：GM=BM． 而BM=BD-DM=2-2=2（-1）， ∴AG=BM=2（-1）． 例2 ．如图，为正方形内一点，，并且点到边的距离也等于，求正方形的面积？ 【解析】：过作于交于． 设，则，． 由． 可得：． 故． ． 例3. 如图，、分别为正方形的边、上的一点，，垂足为，，则有，为什么？ 【解析】：要说明EF=BE+DF，只需说明BE=EM，DF=FM即可，而连结AE、AF．只要能说明△ABE≌△AME，△ADF≌△AMF即可． 理由：连结AE、AF． 由AB=AM，AB⊥BC，AM⊥EF，AE公用， ∴△ABE≌△AME． ∴BE=ME． 同理可得，△ADF≌△AMF． ∴DF=MF． ∴EF=ME+MF=BE+DF． 例4．如下图、分别在正方形的边、上，且，试说明。 【解析】：将△ADF旋转到△ABC，则△ADF≌△ABG ∴AF=AG，∠ADF=∠BAG，DF=BG ∵∠EAF=45°且四边形是正方形， ∴∠ADF﹢∠BAE=45° ∴∠GAB﹢∠BAE=45° 即∠GAE=45° ∴△AEF≌△AEG（SAS） ∴EF=EG=EB﹢BG=EB﹢DF 例5. 如图，在正方形的、边上取、两点，使，于. 求证： 【解析】：欲证 AG=AB，就图形直观来看， 应证Rt△ABE与Rt△AGE全等，但条件不够. ∠EAF=45°怎么用呢？ 显然∠1＋∠2=45°，若把它们拼在一起，问题就解决了. 【证明】：把 △AFD绕A点旋转90°至△AHB. 　∵∠EAF=45°，∴∠1＋∠2=45°. 　∵∠2=∠3，∴∠1＋∠3=45°. 　又由旋转所得 AH=AF，AE=AE. 　∴ △AEF≌△AEH. 例6.(1) 如图1,在正方形中,点,分别在边, 上,,交于点,. 求证：. (2) 如图2,在正方形中,点,,,分别在边, ,,上,,交于点,,. 求的长. 已知点,,,分别在矩形的边,,,上， ,交于点,,. 直接写出下列两题的答案： ①如图3,矩形由个全等的正方形组成,求的长； ②如图4,矩形由个全等的正方形组成,求的长(用的代数式表示). 【解析】 (1) 证明：如图1，∵ 四边形ABCD为正方形， ∴ AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°， ∴ ∠EAB+∠AEB=90°. ∵ ∠EOB=∠AOF＝90°, ∴ ∠FBC+∠AEB=90°，∴ ∠EAB=∠FBC， ∴ △ABE≌△BCF ， ∴ BE=CF． (2) 解：如图2,过点A作AM//GH交BC于M， 过点B作BN//EF交CD于N,AM与BN交于点O/， 则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形， ∴ EF=BN,GH=AM， ∵ ∠FOH＝90°, AM//GH，EF//BN, ∴ ∠NO/A=90°, 故由(1)得, △ABM≌△BCN， ∴ AM=BN， ∴ GH=EF=4． (3) ① 8．② 4n． 【双基训练】 1. 如图6，点在线段上，四边形与都是正方形，其边长分别为和，则的面积为_______