[2018年最新整理]2011-12-2第四章.ppt

第四章???级数;高等数学中的级数理论很容易推广到复函数上来，;§1 复数项级数;1. 复数列的极限 ;定理一 复数列;*;[解] 1) 因;2. 级数概念 ;由定理一, {sn}有极限存在的充要条件是{ An}和;注 由实数项级数 和 收敛的必要条件 ;收敛;非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数。;*;例 下列级数是否收敛? 是否绝对收敛?;且绝对收敛。;例 下列级数是否收敛? 是否绝对收敛?;*;§2 幂级数;1. 幂级数的概念;存在, 则称复变函数项级数在 z0 收敛, 而 s(z0) 称 为它的和。;这种级数称为幂级数。;定理一(阿贝尔(Abel)定理);2. 收敛圆和收敛半径;;例1 求幂级数(等比级数);3. 收敛半径的求法;定理二(比值法);注 事实上，在定理二和定理三中，有以下的 结论：;例 求下列幂级数的收敛半径;[解];2);3) 由;例 求下列幂级数的收敛半径;[解];2) ;3) ;4) ;5) ;4. 幂级数的运算和性质;例 把函数;从而可得;本题的解题步骤;例 把函数;定理四 设幂级数;例 求下列幂级数的收敛半径及其和函数;例 求下列幂级数的收敛半径及其和函数;例 求下列幂级数的收敛半径及其和函数;§3 泰勒级数;定理四 设幂级数;假设圆周K:;*;称为f (z)在z0的泰勒展开式, 它右端的级数称为 f (z)在z0处的泰勒级数。;注1 若 f (z) 在 z0 解析, 则使 f (z) 在 z0 的泰勒展开式成立的圆域的半径 R 等于从 z0 到 f (z) 距 z0 最近一个奇点 a 的距离, 即R =| a-z0 |。 ;下证泰勒级数的唯一性.;通过直接计算系数:;同样, 可求得sin z与cos z在z=0的泰勒展开式:;利用幂级数的运算，借助一些已知函数的展开 式,得出一个函数的泰勒展开式;例 把函数;[解] z= -1 是 ln(1+z) 的奇点，且 ln(1+z) 在 |z|1 ;例 求幂级数;例 把下列函数展开成 z 的幂级数，并指出它们;例 把下列函数展开成z的幂级数，并指出它们;例 求下列函数在指定点处的泰勒展开式，并指出;例 求下列函数在指定点处的泰勒展开式，并指出;例 求下列函数在指定点处的泰勒展开式，并指出;*;§4 洛朗级数;其中;在圆环域 ;例 函数;因此，f (z) 在;在圆环域 内处处解析的函数 f (z), 是否能展开成形如(4.1)的级数（含负幂项）？？;;*;由复合闭路定理， 上??两式都等于;(4.2称为 f (z)在以 z0 为中心的圆环域：;由于计算系数很麻烦，一般不采用.;;[解] 先把 f (z) 用以下分式表示：;ii) 在1|z|2内，由于;iii) 在2|z|+?内，由于;在圆环域：;[解] 先把 f (z)用部分分式表示：;ii) 在1|z-1|+?内，由于;iii) 在0|z-2|1内，由于;iv) 在1|z-2|+?内，由于;例2 把;在以z = 0 为中心、由;在以z = 0 为中心、由;在以z = 0 为中心、由;注意到 泰勒展式可以看作是洛朗展式的一种 特例，因此，一个函数 f (z) 可以在奇点展开 为洛朗级数，也可以在解析点展开。;的展开式有三个：;在洛朗级数的系数公式;所以计算该类型积分时可转化为求被积函数 洛朗展开式中 z 的负一次幂项的系数c-1。;故;函数;例3 求积分