2014届步步高大一轮复习讲义二29.doc

§2.9　函数的应用 2014高考会这样考　1.综合考查函数的性质；2.考查一次函数、二次函数、分段函数及基本初等函数的建模问题；3.考查函数的最值． 复习备考要这样做　1.讨论函数的性质一定要先考虑定义域；2.充分搜集、应用题目信息，正确建立函数模型；3.注重函数与不等式、数列、导数等知识的综合． 1． 几类函数模型及其增长差异 (1)几类函数模型 函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b (a、b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝eq \f(k,x)＋b (k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c (a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c (a，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1)对数函数模型f(x)＝blogax＋c (a，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1)幂函数模型f(x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0)(2)三种函数模型的性质 函数 性质　　y＝ax(a1)y＝logax(a1)y＝xn(n0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图像的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnax2. 解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 以上过程用框图表示如下： [难点正本　疑点清源] 1．要注意实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域． 2．解决函数应用问题重点解决以下问题 (1)阅读理解、整理数据：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等； (2)建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域； (3)求解函数模型：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图像的作用； (4)回答实际问题结果：将函数问题的结论还原成实际问题，结果明确表述出来． 1． 某物体一天中的温度T(单位：℃)是时间t(单位：h)的函数：T(t)＝t3－3t＋60，t＝0表示中午12∶00，其后t取正值，则下午3时的温度为________． 答案　78℃ 解析　T(3)＝33－3×3＋60＝78(℃)． 2． 某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－eq \f(1,20)Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元． 答案　2 500 解析　L(Q)＝40Q－eq \f(1,20)Q2－10Q－2 000 ＝－eq \f(1,20)Q2＋30Q－2 000 ＝－eq \f(1,20)(Q－300)2＋2 500 当Q＝300时，L(Q)的最大值为2 500万元． 3． (2011·湖北)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M02－eq \f(t,30)，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年)，则M(60)等于(　　) A．5太贝克 B．75ln 2太贝克 C．150ln 2太贝克 D．150太贝克 答案　D 解析　∵M′(t)＝－eq \f(1,30)M02－eq \f(t,30)·ln 2， ∴M′(30)＝－eq \f(1,30)×eq \f(1,2)M0ln 2＝－10ln 2，∴M0＝600. ∴M(t)＝600×2－eq \f(t,30)，∴M(60)＝600×2－2＝150(太贝克)． 4． 某企业第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x)，则以下结论正确的是 (　　) A．x22% B．x22% C．x＝22% D．x的大小由第一年的产量确定 答案　B 解析　设第一年的产量为a，则a(1＋x)2＝a(1＋44%)， ∴x＝20%. 5． 某公司租地建仓库