[1997年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题.doc

1997年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 已知在处连续,则 . (2) 设,则 . (3) . (4) . (5) 已知向量组的秩为2,则 . 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 设时,与是同阶无穷小,则为 ( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (2) 设在区间上记, ,则 ( ) (A) (B) (C) (D) (3) 已知函数对一切满足,若 则 ( ) (A) 是的极大值 (B) 是的极小值 (C) 是曲线的拐点 (D) 不是的极值,也不是曲线的拐点 (4) 则 ( ) (A) 为正常数 (B) 为负常数 (C) 恒为零 (D) 不为常数 (5) 设为 ( ) (A) (B) (C) (D) 三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.) (1) 求极限. (2) 设由所确定,求. (3) 计算. (4) 求微分方程的通解. (5) 已知是某二阶线性非齐次微分方程的三个解,求此微分方程. (6) 已知,且,其中是三阶单位矩阵,求矩阵. 四、(本题满分8分.) 取何值时,方程组无解,有惟一解或有无穷多解？并在有无穷多解时写出方程组的通解. 五、(本题满分8分) 设曲线的极坐标方程为,为上任一点,为上一定点,若极径与曲线所围成的曲边扇形面积值等于上两点间弧长值的一半,求曲线的方程. 六、(本题满分8分) 设函数在闭区间上连续,在开区间内大于零,并满足 (为常数),又曲线与所围成的图形的面积值为2,求函数,并问为何值时,图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积最小. 七、(本题满分8分.) 已知函数连续,且,设,求,并讨论的连续性. 八、(本题满分8分) 就的不同取值情况,确定方程在开区间内根的个数,并证明你的结论. 1997年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.) (1)【答案】 【解析】由于在处连续,故 【相关知识点】1.函数在点连续： 设函数在点的某一邻域内有定义,如果则称函数在点连续. 2.如果函数在处连续,则有. (2)【答案】 【解析】题目考察复合函数在某点处的高阶导数,按照复合函数求导法则具体计算如下： , , ,. 【相关知识点】1.复合函数求导法则： 如果在点可导,而在点可导,则复合函数在点可导,且其导数为或. (3)【答案】或 【解析】题目考察不定积分的计算,分别采用凑微分的方法计算如下： 方法1：原式. 方法2：原式. (4)【答案】 【解析】题目考察广义积分的计算,采用凑微分的方法,结合基本微分公式表计算如下： 原式 . (5)【答案】3 【解析】方法1：利用初等变换. 以为行构成矩阵,对其作初等变换： 因为所以. 方法2：利用秩的定义. 由于则矩阵中任一三阶子行列式应等于零. , 应有 , 解得. 方法3：利用线性相关性. 因为故线性相关,以组成的线性齐次方程组有非零解,因 故有非零解. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)【答案】(C) 【解析】题目考察无穷小量的性质和无穷小量的比较,采用