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离散数学考试（试题及答案） 一、（10分）某项工作需要派A、B、C和D 4个人中的2个人去完成，按下面3个条件，有几种派法？如何派？ (1)若A去，则C和D中要去1个人； (2)B和C不能都去； (3)若C去，则D留下。 解 设A：A去工作；B：B去工作；C：C去工作；D：D去工作。则根据题意应有：A(C(D，((B∧C)，C((D必须同时成立。因此 (A(C(D)∧((B∧C)∧(C((D) (((A∨(C∧( D)∨((C∧D))∧((B∨(C)∧((C∨(D) (((A∨(C∧( D)∨((C∧D))∧(((B∧(C)∨((B∧(D)∨(C∨((C∧(D)) (((A∧(B∧(C)∨((A∧(B∧(D)∨((A∧(C)∨((A∧(C∧(D) ∨(C∧( D∧(B∧(C)∨(C∧( D∧(B∧(D)∨(C∧( D∧(C)∨(C∧( D∧(C∧(D) ∨((C∧D∧(B∧(C)∨((C∧D∧(B∧(D)∨((C∧D∧(C)∨((C∧D∧(C∧(D) (F∨F∨((A∧(C)∨F∨F∨(C∧( D∧(B)∨F∨F∨((C∧D∧(B)∨F∨((C∧D)∨F (((A∧(C)∨((B∧C∧( D)∨((C∧D∧(B)∨((C∧D) (((A∧(C)∨((B∧C∧( D)∨((C∧D) (T 故有三种派法：B∧D，A∧C，A∧D。 二、（15分）在谓词逻辑中构造下面推理的证明：某学术会议的每个成员都是专家并且是工人，有些成员是青年人，所以，有些成员是青年专家。 解：论域：所有人的集合。()：是专家；()：是工人；()：是青年人；则推理化形式为： (()∧())，()(()∧()) 下面给出证明： (1)() P (2)(c) T(1)，ES (3)(()∧()) P (4)( c)∧( c) T(3)，US (5)( c) T(4)，I (6)( c)∧(c) T(2)(5)，I (7)(()∧()) T(6) ，EG 三、（10分）设A、B和C是三个集合，则A(B(((B(A)。 证明：A(B((x(x∈A→x∈B)∧(x(x∈B∧x(A)((x(x(A∨x∈B)∧(x(x∈B∧x(A) (((x(x∈A∧x(B)∧((x(x(B∨x∈A)(((x(x∈A∧x(B)∨((x(x∈A∨x(B) ((((x(x∈A∧x(B)∧(x(x∈A∨x(B))((((x(x∈A∧x(B)∧(x(x∈B→x∈A)) (((B(A)。 四、（15分）设A＝{1，2，3，4，5}，R是A上的二元关系，且R＝{2，1，2，5，2，4，3，4，4，4，5，2r(R)、s(R)和t(R)。 解 r(R)＝R∪IA＝{2，1，2，5，2，4，3，4，4，4，5，21，，，，，，，，} s(R)＝R∪R－1{2，1，2，5，2，4，3，4，4，4，5，21，2，4，2，4，3} R2{2，2，2，4，3，4，4，4，5，1，5，5，5，4} R3{2，1，2，5，2，4，3，4，4，4，5，2，5，4} R4{2，2，2，4，3，4，4，4，5，1，5，5，5，4}R2 t(R)＝Ri＝{2，1，2，5，2，4，3，4，4，4，5，2，2，2，5，1，5，4，5，5}R与IA对称，所以有yRx或yIAx，于是yr(R)x。所以r(R)是对称的。 下证对任意正整数n，Rn对称。 因R对称，则有xR2y((z(xRz∧zRy)((z(zRx∧yRz)(yR2x，所以R2对称。若对称，则xy((z(xz∧zRy)((z(zx∧yRz)(yx，所以对称。因此，对任意正整数n，对称。 对任意的x、y∈A，若xt(R)y，则存在m使得xRmy，于是有yRmx，即有yt(R)x。因此，t(R)是对称的。 六、（10分）若f：A→B是双射，则f－1：B→A是双射。 f：A→B是双射，f－1是B到A的函数。f－1x∈A，y∈B使fx)＝y，f－1y)＝x，所以f－1是满射。 y1、y2∈B，若f－1y1)＝f－1y2)＝x，f(x)＝y1，f(x)＝y2。因为f：A→B是y1＝y2。f－1是单射。 f－1：B→A是双射。 S，*是一个半群，如果S是有限集，则必存在a∈S，使得a*a＝a。 证明 因为S，*是一个半群，对任意的b∈S，由*的封闭性可知，b2＝b*b∈S，b3＝b2*b∈S，…，bn∈S，…。 因为S是有限集，所以必存在j＞