全国大学生数学建模竞赛题目.docx
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2002全国大学生数学建模竞赛题目
A题 车灯线光源的优化设计
安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面,车灯的对称轴水平地指向正前方, 其开口半径36毫米,深度21.6毫米。经过车灯的焦点,在与对称轴相垂直的水平方向,对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。
该设计规范在简化后可描述如下。在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏,屏与FA垂直,用以测试车灯的反射光。在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线,在该直线A点的同侧取B点和C点,使AC=2AB=2.6米。要求C点的光强度不小于某一额定值(可取为1个单位),B点的光强度不小于该额定值的两倍(只须考虑一次反射)。
请解决下列问题:
(1)在满足该设计规范的条件下,计算线光源长度,使线光源的功率最小。
(2)对得到的线光源长度,在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。
(3)讨论该设计规范的合理性。
B题 彩票中的数学
近年来“彩票飓风”席卷中华大地,巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列,目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。
“传统型”采用“10选6+1”方案:先从6组0~9号球中摇出6个基本号码,每组摇出一个,然后从0~4号球中摇出一个特别号码,构成中奖号码。投注者从0~9十个号码中任选6个基本号码(可重复),从0~4中选一个特别号码,构成一注,根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码“abcdef+g”为例说明中奖等级,如表一(X表示未选中的号码)。
表一
中 奖
等 级
10 选 6+1(6+1/10)
基 本 号 码 特别号码
说 明
一等奖
abcdef g
选7中(6+1)
二等奖
abcdef
选7中(6)
三等奖
abcdeX Xbcdef
选7中(5)
四等奖
abcdXX XbcdeX XXcdef
选7中(4)
五等奖
abcXXX XbcdXX XXcdeX XXXdef
选7中(3)
六等奖
abXXXX XbcXXX XXcdXX XXXdeX XXXXef
选7中(2)
?“乐透型”有多种不同的形式,比如“33选7”的方案:先从01~33个号码球中一个一个地摇出7个基本号,再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。投注者从01~33个号码中任选7个组成一注(不可重复),根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级,不考虑号码顺序。又如“36选6+1”的方案,先从01~36个号码球中一个一个地摇出6个基本号,再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。从01~36个号码中任选7个组成一注(不可重复),根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级,不考虑号码顺序。这两种方案的中奖等级如表二。
表二
中 奖
等 级
33 选 7(7/33)
36 选 6+1(6+1/36)
基 本 号 码 特别号码
说 明
基 本 号 码 特别号码
说 明
一等奖
●●●●●●●
选7中(7)
●●●●●● ★
选7中(6+1)
二等奖
●●●●●●○ ★
选7中(6+1)
●●●●●●
选7中(6)
三等奖
●●●●●●○
选7中(6)
●●●●●○ ★
选7中(5+1)
四等奖
●●●●●○○ ★
选7中(5+1)
●●●●●○
选7中(5)
五等奖
●●●●●○○
选7中(5)
●●●●○○ ★
选7中(4+1)
六等奖
●●●●○○○ ★
选7中(4+1)
●●●●○○
选7中(4)
七等奖
●●●●○○○
选7中(4)
●●●○○○ ★
选7中(3+1)
注:●为选中的基本号码;★ 为选中的特别号码;○ 为未选中的号码。
以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的50%,投注者单注金额为2元,单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如表三,其中一、二、三等奖为高项奖,后面的为低项奖。低项奖数额固定,高项奖按比例分配,但一等奖单注保底金额60万元,封顶金额500万元,各高项奖额的计算方法为:
[(当期销售总额 ×总奖金比例) -低项奖总额 ]×单项奖比例
(1)根据这些方案的具体情况,综合分析各种奖项出现的可能性、奖
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