第二章 线性系统的可控性、可观测性.ppt

* 第二章 线性系统的可控性、可观测性 给定线性系统： 在本课程以下的讨论中，始终假设： 2). u(t) 是定义在 上连续或分段连续函数组成的控制向量。 这样的控制称为 容许控制。 1). A(t)、B(t)、C(t)、D(t) 各个分量在 上连续； 可控性和可观测性问题的提出 1. 基本假设和容许控制 注1：一个函数 f 称为在 上分段连续，系指对任意给定的闭区间 , 其不连续点的个数有限。 注2：也存在其它类型的控制信号， 但容许控制是工程中最容易实现，因而也是应用最为广泛的一类控制信号。 注3：A(t), B(t), C(t), D(t) 各个分量连续的假设可以放宽到分段连续， 但会在理论分析上带来一些困难。 2. 可控性和可观测性的概念 在系统分析和设计中两个关键问题是： 例：考虑如下二阶系统： 1). 系统的状态能否由 u 来控制？ 状态 x2 显然不能通过输入 u来改变其运动轨迹。事实上，若x2(t0)非零，x2将发散到无穷。 对许多反馈系统来说，仅有输入和输出信号是可以测量的。但为了进行控制律的设计，必须了解系统的内部状态。因此，系统的的状态能否通过输出来反映的问题就变得十分重要。 例：考虑如下二阶系统，其中仅输入和输出可测量： 显然，在这个例子中，系统的状态不能被完全观测到。事实上，x1和输出y没有直接和间接的联系。 2).系统的的状态能否由输出来反映？ G(s) u y 由动态方程 可知，可控性要研究的是矩阵对 (A(t), B(t)) 的关系；由于系统是否可观测不取决于输入信号的具体形式，反映的是系统自身结构的性质，因此，可令 u=0，则显然，可观测性要研究的 是矩阵对(A(t), C(t)) 之间的关系。 2).系统的的状态能否由输出来反映？——导致可观测性概念的提出。 1). 系统的状态能否由 u 来控制？——导致可控性概念的提出； 可控性和可观测性问题是控制系统分析和设计中必须回答的问题。 若不能回答对象可控性和可观测性的问题，系统控制器 C 有可能无法设计。 典型的输入/输出反馈控制系统: 仅输入 u 和输出 y 可测量 y Gp C u 定义2-1 若存在不全为零的复数 使得 成立，则称在复数域上，实变量复值函数 在区间 上线性相关。否则，称其为 上线性无关。 在 考虑一组定义在区间 上的复值连续函数 有： §2-1时间函数的线性无关性 一、一组给定函数在某个区间上的线性相关性 1.标量情形： 与线性代数中常值向量的线性相关性或无关性不同，当讨论一组变量的线性相关性或无关性时，给出变量所定义的区间至为重要。 3） 为复常数。 不失一般性，可假设t1t2。fi (t) 在区间上的连续性假设将贯穿于整个讲义。 注意： 实变量复值函数系指定义在实数域上的复值函数。 例：令f1(t)=t, f2(t)=t2，讨论它们在[0, 1]上的线性相关性。 根据定义，考虑方程 。这样的常数?不存在，因此，它们在[0, 1]上线性无关。 例2-1 讨论定义在 上的两个连续函数 和 分别在 上的线性相关性和线性 无关性： 1 -1 1 -1 从例2－1可见，虽然一个函数组在某个时间区间[t1,t2]上是线性无关的，但在[t1,t2] 中的某个子区间上却可以是线性相关的。然而在[t1,t2]上一定存在这样的子区间，函数组在这个子区间上是线性无关的，而且在包含这个子区间的任何区间上都是线性无关的。在上述例子中，[??, ? ] 就是这样的子区间，这里? 是小于1的任何正数。 -1 1 f1 f2 [ ] -ε ε 将以上概念推广到向量函数组的情形。令f1, f2 , …, fn 为 1×p 维复值向量函数，若存在不全为 零的复数 ，使得 则称1×p维复值向量函数 f1, f2 , …, fn 在 [t1, t2] 上线性相关。否则，称为线性无关。 线性无关的如下矩阵描述在线性系统中有时 更为有用： 2.向量情形： 1×p维复值向量函数组 f1, f2 , …