河南省安阳市2025届高三第一次模拟考试数学试题（含答案解析）.docx
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河南省安阳市2025届高三第一次模拟考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则（???）
A． B． C． D．
2．若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点组成的图形的周长为（???）
A． B． C． D．
3．已知平行四边形的对角线的交点为，则（???）
A． B． C． D．
4．甲、乙两人玩迷宫游戏，已知迷宫的入口编号为1，出口编号分别为2，3，4，5，6，7，两人从入口进入后，他们离开的出口编号之和为8的概率为（???）
A． B． C． D．
5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，且，若的周长为20，则的实轴长为（???）
A．1 B．2 C．4 D．6
6．如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，，，为线段上靠近的三等分点，点为的重心，则点到直线的距离为（???）
A． B． C． D．
7．已知数列的前项和为，且，若，，则（???）
A．3 B．6 C．1015 D．2030
8．已知函数在时满足恒成立，且在区间内，仅存在三个数，，，使得，则（???）
A． B． C． D．
二、多选题
9．定义：已知函数在其定义域上的最大值为，最小值为，若，则称是“间距函数”，则下列函数是“间距函数”的有（???）
A．， B．，
C．， D．，
10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，圆，则下列说法正确的是（???）
A．若，则的面积为2
B．若，则直线被圆截得的弦长为
C．若为等腰三角形，则满足条件的点有2个
D．若为与轴正半轴的交点，为圆的直径（在第一象限），的中点为，（表示斜率），则点的横坐标为
11．已知直三棱柱的底面为等腰直角三角形，，则下列说法正确的是（???）
A．三棱柱的体积为4
B．以为球心，体积为的球面与侧面的交线的长度为
C．若，分别为，的中点，点在平面上，则的最小值为
D．若空间中的一点满足，则的最小值为
三、填空题
12．已知正项等比数列满足，且，则公比为.
13．某学校统计了所有在职教师（只有一级教师和高级教师）的工资情况，其中一级教师80人，平均工资为4.5千元，方差为0.04，高级教师20人，平均工资为6.5千元，方差为0.44，则该校所有在职教师工资的方差为.
14．已知函数满足，则实数，设为的导函数，则不等式的解集为.
四、解答题
15．已知在中，角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若，点到直线的距离为，求的周长.
16．如图，已知正方体的棱长为2，是棱上靠近的四等分点.
(1)求点到平面的距离；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
17．随着网络App的普及与发展，刷“抖音”成为了人们日常生活的一部分.某地区随机抽取了部分20～40岁的“抖音”用户，调查他们日均刷“抖音”的时间情况，所得数据统计如下表：
性别
日均刷“抖音”时间超过2小时
日均刷“抖音”时间不超过2小时
男性
48
72
女性
24
56
(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为日均刷“抖音”时间的长短与性别有关？
(2)现从被调查的日均刷“抖音”时间超过2小时的用户中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取3名用户参加抖音知识问答，已知男性用户、女性用户顺利完成知识问答的概率分别为，，每个人是否顺利完成知识问答相互独立，求在有且仅有2人顺利完成知识问答的条件下，这2人性别不同的概率.
参考公式：，其中.
参考数据：
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
18．已知函数.
(1)求的极值；
(2)若当时，，求实数的取值范围；
(3)设实数，满足，证明：.
19．设，是抛物线上除顶点以外的两点，过点，分别作的切线，两条切线相交于点.
(1)若且，求直线的方程；
(2)设，分别为直线，与轴的交点，证明：的外接圆过定点；
(3)若的焦点为，点，在的准线上的射影分别为点，，证明：点是的外心.附：抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.
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《河南省安阳市2025届高三第一次模拟考试数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C