[套卷]辽宁省葫芦岛市普通高中2014届高三第一次模拟考试 数学理试题 （高清扫描，word答案）.doc

2014年葫芦岛市高三第一次模拟考试 数学试题(理科) 参考答案及评分标准 一.选择题每小题5分,总计60分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C B B B C C D D A A D 二.填空题每小题5分,总计20分. 13. 24 14. 15. 16. 2 三.解答题 17.解：设等差数列的首项为,公差为, 由解得因此)n-1.则Tn=c1+c2+…+cn ∴① ② ---------------------6分 ①—②,得 ---------------10分 所以 --------12分 18.(本小题满分12分) （Ⅰ）证明：因为四边形是菱形， 所以 . ……………… 1分 因为平面平面，且四边形是矩形， 所以 平面， ……………… 2分 又因为 平面， 所以 . ……………… 3分 因为 ， 所以 平面. ……………… 4分 （Ⅱ）解：设，取的中点，连接， 因为四边形是矩形，分别为的中点， 所以 ， 又因为 平面，所以 平面， 由，得两两垂直. 所以以为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间 直角坐标系. ……………… 5分 因为底面是边长为2的菱形，，， 所以 ，，，，，. ………………6分 因为 平面， 所以平面的法向量. …………7分 设直线与平面所成角为， 由 ， 得 ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. ………………9分 （Ⅲ）解：由（Ⅱ），得，. 设平面的法向量为， 所以 ………………10分 即 令，得. ………………11分 由平面，得平面的法向量为， 则. …………13分 由图可知二面角为锐角， 所以二面角的大小为. ………………14分 19．（本题满分12分） 解：（Ⅰ）记“从10天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到一级”为事件，1分 =………………………………………4分 （Ⅱ）依据条件，服从超几何分布：其中，的可能值为，其分布列为： (k=0,1,2,3)…………………………6分 P ……………………8分 （Ⅲ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为， 一年中空气质量达到一级或二级的天数为，则 ∴EY=366×0.7≈256 ∴一年中平均有2天的空气质量达到一级或二级分 =3 又∵c=1 ∴b2=3 a2=4 ∴椭圆C的方程为：+=1………………………………………………………4分 （2）当直线l与x轴垂直时，直线l即为y轴，此时A(0,-)、B(0,) |PA|=3-,|PB|=3+ 由题意：=+ 解得：|PC|= ∴C（0，-3） (2) 当直线l与x轴不垂直时，设直线的方程为y=kx-3. 与椭圆方程+=1联立并消元整理得：（4k2+3)x2-24kx+24=0 ………………① Δ=(24k)2-4(4k2+3)×24=96(2k2-3)0 ∴k2 设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1,x2是方程①的两个解，由韦达定理得： x1+x2=,x1x2= |PA|2=x12+(y1+3)2=x12+(kx1-3+3)2=(1+k2)x12 |PB|2=x22+(y2+3)2=x22+(kx2-3+3)2=(1+k2)x22 |PC|2=x2+(y+3)2=x2+(kx-3+3)2=(1+k2)x2 由题意：=+ ∴=+ 即=+=== ∴x2= 又∵点C在直线上，∴y=kx-3 k= 代入上式并化简得：8（y+3)2-3x2=24 即-=1 ∵k2 ∴0x2 即x∈(-,0)∪(0,) 又C（0，-3）满足-=1，故x∈(-,). 由题意，C(x,y)在椭圆C内部，所以-≤y≤， 又由8（y+3)2=24+3x2有(y+3)2∈(3,4) 且-≤y≤ ∴y∈(-3,-1) 所以点C的轨迹方程是-=1， 其中，x∈(-,)，y∈(-3,-1)………12分 (如考生未考虑l与x轴垂直，扣1分；求轨迹方程后没有求得x,y