302流体运动的基本方程(下基本方程组及其求解问题).ppt

第三章 流体运动的基本概念和基本方程 3-0 流体运动的基本方程 下：方程组及其求解思路 分析过程 流体运动的基本方程（下：基本方程组及其求解问题） *第一章 绪论 * 主要内容： [三维流动]连续性微分方程(质量守恒) 实际流体运动的微分方程 （N-S方程：运动与力的关系） 流体运动基本方程的求解问题 连续性微分方程 EXIT 三维流动的连续性微分方程 不可压缩流体运动的连续性微分方程 连续性方程 —— 质量守恒定律对流体运动的一个基本约束 用欧拉观点对质量守恒原理的描述：连续介质的运动必须维持质点的连续性，即质点间不能发生空隙。因此，净流入控制体的流体质量必等于控制体内因流体密度变化而增加的质量。 EXIT ?一. 三维流动的连续性微分方程 x y z o dx dy dz ux a b c d a’ b’ c’ d’ 净流入前后这一对表面的流体质量为 在时间段dt 里，从 abcd 面流入微元体的流体质量为 从a’b’c’d’面流出的流体质量为 EXIT x y z o dx dy dz uz a b c d a’ b’ c’ d’ 同理可知，在时间段dt 里，沿着 y 方向和 z 方向净流入左右和上下两对表面的流体质量分别为 和 uy EXIT 三维流动的连续性微分方程 在时间段dt 里，微元内流体质量的增加 根据质量守恒原理 简化 或写成 EXIT 恒定流动的连续方程 EXIT 极坐标中平面流动的连续方程 d? u? o ur rd? dr ? r 对于不可压缩流体的流动（不论是恒定或非恒定），连续方程为 EXIT 速度场的散度为零 ?二. 不可压缩流体运动的连续性微分方程 不可压缩流体 速度场的散度 流体微团在三个互相垂直方向上的线变形速率之和，也是流体微团的体积膨胀率。 连续方程 表明不可压缩流体微团在三个互相垂直方向上的线变形速率的总和必为零，若在一个方向上有拉伸，则必有另一个方向上的压缩，在运动过程中其体积不会发生变化。 EXIT EXIT 流体运动微分方程 不可压缩粘性流体运动微分方程 （纳维- 斯托克斯方程） 不可压缩粘性流体的运动微分方程用图 dx、dy、dz 的平行六面体（控制体） p 代表法向应力（表面力） ? 代表切向应力（表面力） fx、fy、fz 代表单位质量力 应用牛顿第二定律可得出方程 不可压缩粘性流体运动微分方程（纳维-斯托克斯方程） 运动粘性流体存在切应力，压应力与作用面的方位有关，但三个相互垂直的作用面上压应力之和与作用面的方位无关，它们的平均值定义为粘性流体的动压强。广义牛顿内摩擦定律假设应力与变形速率之间呈线性关系，在此基础上可建立不可压缩粘性流体运动微分方程 —纳维-斯托克斯方程 EXIT N-S方程 N-S方程矢量形式 时变惯性力 位变惯性力 质量力 压差力 粘性力 EXIT 拉普拉斯算子 对跟随其后的量求调和量 流体静止时，只受质量力、压差力的作用，运动方程简化为平衡方程 例 流体运动基本方程的求解问题 基本微分方程组 EXIT 微分形式流体运动方程连同连续方程，形成对流体运动的基本控制方程组，是求解流速场和压力场的理论基础。四个方程可求四个未知量：p 和 u ，方程组是封闭的。但由于运动方程是二阶偏微分方程，其中的位变惯性力（常称为对流项）是非线性的，解析求解非常困难。 忽略粘性，作理想流体假设，从流动的维数上作简化，都是常见的手段。如果流动是有势流动，解析处理就有更多的便利条件。后面我们就将分门别类地对各种流动进行求解方法的讨论。 只有在极少数简单流动的情况下，N-S 方程才有解析解。而绝大部分流动都不能直接对 N-S 方程解析求解，我们只能抓住问题的主要方面，作相应的简化，才能进行进一步的解析处理。 各种简化都是在基本方程的基础上进行的，所以深入理解方程中各项的物理意义是非常重要的。 EXIT 解法概述 是指运动方程的解在流场的边界上必须满足的运动学和动力学条件。常见的边界条件有：固壁条件和液体的自由表面条件。 流体动力学 定解问题 流体运动基本方程 初始条件边界条件 流动共性 体现个性 是对非恒定流动指定初始时刻流场的速度和压强分布。 EXIT 初始条件 边界条件 初始条件和边界条件 理想流体的固壁条件称为可滑移条件，即流体不能穿越固壁，但可有切向相对运动，所以 un =Un 液体的自由表面动力学条件为自由表面上压