数学建模第五章.doc
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线性规划(NLP)和二次规则(QP)。其中LINDO、LINGO学生版可解决最多达300个变量和150个约束的规则问题,并且容易阅读、了解和修改。
(4)SPSS
SPSS(Statistical Package for the Social Science,社会科学统计软件包)是世界上应用最广泛的统计分析软件之一。最早的SPSS统计软件系统由斯坦福大学的学生于1968年开发并于1975年在芝加哥成立SPSS公司。SPSS采用Windows的窗口方式展示各种管理和分析数据的方法,使用对话框展示各种功能选择项,只要具备一定的Windows操作技能,了解统计分析原理,便可以使用该软件做科学研究工作。
SPSS的基本功能包括数据管理、统计分析、图表分析、输出管理等。其在社会科学、自然科学的各个领域都发挥着重要作用,应用于经济学、管理学、教育学、心理学、生物学、医学以及农业、林业、工业、商业等各个领域和行业。随着SPSS产品服务领域的扩大和服务深度的增加,SPSS公司已于2000年正式将英文全称改为“Statistical Product and Service Solutions”(统计产品与服务解决方案)。
第 五 章
初等模型
初等模型是指用较简单初等的数学方法建立起来的数学模型。对于数学建模,判断一个模型的优劣完全在于模型的正确性和应用效果,而不在于采用多少高深的数学知识。在同样的应用效果下,用初等方法建立的数学模型可能更优于用高等方法建立的数学模型。本章利用初等数学的方法,通过几个实例给出数学建模的基本过程。
5.1 椅子问题
1.问题的提出
日常生活中经常碰到这样一个事实,把椅子放在不平的地面上,通常只有三只脚着地,放不稳。然而只需稍挪动几次,就可以使四只脚同时着地,放稳了。这个看来似乎与数学无关的现象,你能用数学语言给以描述并用数学工具来证实吗?
2. 问题的解决
(1) 问题假设
① 椅子四条腿一样长,椅脚与地面接触处可视为一个点,四脚的连线呈正方形。
② 地面高度是连续变化的,沿任何方向都不会出现间断(没有像台阶那样的情况),即地面可视为数学上的连续曲面。
③ 对于椅脚的间距和椅腿的长度而言,地面是相对平坦的,使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。
(2)问题分析
模型构成的中心问题是用数学语言把椅子四只脚同时着地的条件和结论表示出来。
首先要用变量表示椅子的位置,注意到椅脚连线呈正方形,以中心为对称点,正方形绕中心的旋转正好代表了椅子位置的改变,于是可以用旋转角度这一变量来表示椅子
的位置。在图5-1中,椅脚连线为正方形ABCD,对直角线AC与
轴重合,椅子绕中心点旋转角度后,正方形转至
的位置,所以对角线与轴的夹角表示了椅子的
位置。
其次要把椅脚着地用数学符号表示出来。如果用某个变量表示椅
脚与地面的垂直距离,那么当这个距离为零时,就表示椅脚着地,椅
子在不同位置时椅脚与地面距离不同,所以这个距离是椅子的位置变
量的函数。
虽然椅子有四只脚,因而有四个距离,但是由正方形的中心对称性,只要设两个距离函数就行了。记
、两脚与地面距离之和为,、两脚与地面距离之和为,则和皆大于零。由假设(2)知,和都是连续函数。由假设(3)知,椅子在任何位置至少有三只脚着地,所以对于任意的,和中至少有一个为零。不妨设初始位置时,,。这样,椅子抽象成如下数学问题:
已知和是的连续函数,对于任意的,,且,,则必存在,使,。
可以看到,引入变量和函数和后,就把模型的假设条件和椅脚同时着地的结论用简单、精确的数学语言表述出来了,从而构成了这个实际问题的数学模型。
模型求解
上述命题有多种证明方法,这里只介绍其中的一种。
将椅子旋转,对角线与的位置互换,由、知,。
令,则、。由和在上的连续性知,也在上连续。根据闭区间上连续函数的零点定理知,在内必须存在一点,使得,即。又因为,所以。
由于这个问题非常直观和简单,模型分析和检验就略去了。这个模型的巧妙之处在于用一元变量表示了椅子的位置,用的函数表示了椅子的四脚与地面的距离。至于利用正方形的中心对称性以及旋转并不是本质的东西。
思考:学者可以考虑椅子的四脚连线程长方形的情形。
5.2银行借贷问题
1.问题的提出
随着人们生活水平的提高,同样也随着房价的不断上升,人们开始向银行申请个人住房贷款。其还款方式有以下两种。
(1)等本不等息递减还款法:即每月还贷本金相同,利息逐月减少;
(2)等额本息还款法:即每月以相等的额度平均偿还贷款本息。
请你分析这两种还贷方式的利弊。
2问题的解决
设贷款20万元,并分30年还清,年利率为(即月利率)。
第一种还贷方式
每月还本金元,而第一个月
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