第十九次与课 正定二次型 .ppt

* 只含平方项的二次型 称为二次型的标准形(或法式)。 定义6.10（二次型标准形） 平方项系数只在1,-1,0中取值的标准形 称为二次型的规范形。（见书第五节二次型的规范形） 以上说明： 注意： 2. 在变换二次型时，要求所作的线性变换是可逆的. 设二次型 f(x) = xTAx ( r(A)=r )经正交变换化为: (思考为什么一定可化为上面形式？) 再做一次可逆的线性变换 则 f 化为 思考：在可互化的二次型中最简单的是什么？在对称矩阵合同等价类中最简单的矩阵是什么？ 任意一个实二次型f(x1,x2,…,xn) = xTAx 定理6.12(惯性定理) 总可以经过一个适当的可逆线性变换化成如下形式的规范形 其中r是二次型f的秩， p是二次型f的矩阵A的正特征值个数（重根按重数计），r-p是矩阵A的负特征值个数（重根按重数计），且规范形是唯一的. 证明略 二次型的标准形中正项个数称为二次型的 正惯性指数, 负项个数称为二次型的负惯性指数. 设二次型 f 的秩为 r , 正惯性指数为 p , 则 负惯性指为 r – p . f 的规范形为 惯性定理指出：两个二次型是否等价，被其秩 和正惯性指数唯一确定。 推论6.11(惯性定理的矩阵语言描述) 正、负惯性指数与实二次型的矩阵A的正、负特征值的个数对应相等. n阶实对称矩阵A合同于 ，其中r是A的秩， p是A的正特征值个数，r-p是A的负特征值个数.（重根按重数计） 惯性定理指出：两个二次型是否等价，被其秩和正惯性指数唯一确定. 思考并回答 (1) 二次型的标准形唯一吗？ (2) 二次型的标准形中平方项的个数与二次型的秩有何关系？与二次型矩阵的非零特征值的个数有何关系？ (3) 设CTAC = D (C可逆，D是对角阵)，D的对角元是A的特征值吗？如果C是正交矩阵又如何？ (4) 设4阶对称矩阵A的特征值为0, 2, 2, -3 , A的二次型的规范形是什么？ 思考：在可互化的二次型中最简单的是什么？在对称矩阵合同等价类中最简单的矩阵是什么？ 如果 n 维的二次型 f(x) = xTAx 其标准形系数全为正，则称之为正定二次型，二次型的矩阵 A 称为正定矩阵；如果标准形中系数全为负，则称之为负定二次型，二次型的矩阵称为负定矩阵。 定义 化标准形 化规范形 正定二次型为 正定矩阵就是特征值全大于零的对称矩阵，也是与单位矩阵合同的对称矩阵。 显然，如果 f 负定，则 – f 正定，以后只需讨论正定二次型(正定矩阵)。 定理 二次型 f(x) = xTAx 正定的充要条件是对任意x≠0，都有 f(x) = xTAx 0. (注：书上以后者为定义) 证 设 必要性：设 f 正定，即 对任意x≠0，则 ，故 充分性：反证。如果有某个 ，取 , 与 矛盾。 如果 n 维的二次型 f(x) = xTAx 其标准形系数全为正(秩和正惯性指数都等于n)，则称之为正定二次型，二次型的矩阵 A 称为正定矩阵；如果标准形中系数全为负，则称之为负定二次型，二次型的矩阵称为负定矩阵. 定义6.13 显然，如果 f 负定，则 – f 正定. 设f(x)是实二次型，若对任意非零向量x， (1) 恒有f(x) ≥0 ，则称实二次型f(x) 是半正定的； (2) 恒有f(x) ≤0 ，则称实二次型f(x) 是半负定的. 定义6.14 我们重点讨论正定二次型(正定矩阵). 定理 ( 霍尔维茨定理 ) 对称矩阵A为正定的充要条件是：A的各阶主子式全为正，即 总结: 二次型 f(x) = xTAx 为正定二次型(A为正定矩阵) 判别二次型 是否正定. 它的各阶顺序主子式 故上述二次型是正定的. 例1 f 的矩阵为 解 例2 解 判别二次型 是否正定. 二次型的矩阵为 即知A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型. 求得其特征值 判别二次型 的正定性. 例3 解 二次型的矩阵 它的各阶顺序主子式 A是负定矩阵，二次型是负定二次型。 或者，判别 －Ａ 为正定. 例4 与矩阵 合同的矩阵是( ) A特征值是两正一负。 是正定二次型？ 解 二次型的矩阵为 A的顺序主子式为： 所以当 例5 问t 满足什么条件时，二次型 A的顺序主子式全大于0，此时 f 正定。 例6 设