二十世纪数学概观.ppt

一新的理论在数学中的作用越来越明显，集合概念本身被抽象化了，可以是任意性质的元素集合，如函数的集合、曲线的集合等等。 集合论引起了数学中基本概念（如积分、函数、空间等）的深刻变革。 （2）公理化方法 外尔曾说过：“20世纪数学的一个十分突出的方面是公理化方法所起的作用极度增长，以前公理化方法仅仅用来阐明我们所建立的理论基础，而现在它却成为具体数学研究的工具。” 现代公理化方法的奠基人是D.希尔伯特，虽然欧几里得已用公理化方法总结了古代的几何知识，但他的公理体系是不完备的。希尔伯特在1899年发表的《几何基础》中则提出第一个完备的公理系统。 飞跃一：希尔伯特在几何对象上达到了更深刻的抽象。 如：“点、线、面”已经纯粹是抽象的对象，没有特定的具体内容。 飞跃二：希尔伯特考察了各公理间的相互关系，明确提出了对公理系统的基本逻辑要求，即 (1)相容性 (3)完备性 (2)独立性 集合论观点与公理化方法在20世纪逐渐成为数学抽象的范式，它们相互结合将数学的发展引向了高度抽象的道路。这方面的发展，导致了20世纪上半叶实变函数论、泛函分析、拓扑学和抽象代数等具有标志性的四大抽象分支的崛起。 2、数学的统一化 20世纪的数学一方面越来越分化成许多分支，另一方面则存在着相反的趋势，即不同学科相互渗透、结合的趋势。 不同分支领域的数学思想与数学方法相互融合，导致了一系列重大发现以及数学内部新的综合交叉学科的不断兴起。 如：微分拓扑与代数拓扑、整体微分几何、代数几何、多复变函数论、动力系统、偏微分方程与泛函分析、随机分析等等。 3、对基础的深入探讨 19世纪末，由于严格的微积分理论的建立，第二次数学危机得以解决。但事实上，严格的微积分理论是以实数理论为基础的，而严格的实数论又以集合论为基础。 集合论似乎给数学家们带来了一劳永逸地摆脱基础危机的希望，尽管集合论的相容性尚未解决。但许多人认为这只是时间问题。 在1900年巴黎举行的第二届国际数学家大会上，庞加莱高兴地指出： “我们最终达到了绝对的严密吗？在数学发展前进的每一阶段，我们的前人都坚信他们达到了这一点，如果他们被蒙蔽了，我们是不是也象他们一样被蒙蔽了？……如果我们不厌其烦地严格的话，就会发现只有三段论或归结为纯数的直觉是不可能欺骗我们的。今天我们可以宣称，完全的严格性已经达到了！” 那时，绝大多数数学家具有和庞加莱相同的看法，他们对数学所达到的严密性而欢欣鼓舞。然而就在第二年，英国数学家罗素以一个简单明了的集合论悖论打破了人们的上述希望，引起了关于数学基础的新争论，而由此引发的争论称为第三次数学危机。 对数学基础的更深入探讨，以及由此引出的数理逻辑的发展是20世纪纯粹数学的又一大重要发展趋势。 3.1 集合论悖论（理发师悖论） 罗素的悖论是： 以M表示是它们本身的成员的集合（如一切概念的集合仍然是一个集合）的集合，而以N表示不是它们本身成员的集合（如所有人的集合不是一个人）的集合。 现在我们问：“集合N是否是它本身的成员？” 无论从哪种情况，我们都得到矛盾。 罗素悖论的出现不仅否定了庞加莱的“完全的严格性已经达到了”，而且直接动摇了把集合论作为分析基础的信心。 法国著名逻辑学家兼数学家费雷格（Frege,1848-1925）在他刚刚完成的巨著《算术基础》第二卷时，他接到了罗素的一封信，信中把集合论悖论告诉了他，费雷格在第二卷的末尾说： “一个科学家不会碰到比这更令人尴尬的事情了，即在一项工作完成的时候它的基础却在崩溃，当这部著作即将付印之际，罗素先生的一封信就使我处于这种境地。” 集合论悖论对数学家们的震动是巨大的。它带来的威胁不只局限于集合论，而是遍及整个数学，甚至还包含逻辑。这就不得不使希尔伯特感叹道： “必须承认，在这些悖论面前，我们目前所处的情况是不能长久忍受下去的。试想， 在数学这个号称可靠性和真理性的典范里，每一个人所学的、教的和应用的那些概念结构和推理方法竟会导致不合理的结果。如果甚至数学思想也失灵的话，那么应该到哪里去寻找可靠性和真理性呢？ 不久，策梅洛（ zermelo,1871-1953 ） 等人进一步指出分析中的一些基本概念（如一非空实数集的最小上界即上确界等）的定义也都是属于非直谓定义。因此不仅集合论，而且整个经典分析都包含着悖论