泛函分析（复旦大学讲稿）（2010年）.doc

泛函分析讲稿  2010 年 7 月 6 日  目录 第一章 度量空间 1 1.1 度量空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 子空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3 积空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.4 极限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 赋范线性空间、内积空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 线性空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 赋范线性空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 内积空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 度量空间中的点集 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 内点、开集 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 极限点、闭集 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 点集间的距离 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 连续映照 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 连续曲线 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 完备性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 完备性的概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 闭球套定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Baire定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 不动点定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 压缩映照原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 稠密性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 稠密性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  i  ii 目录 可分空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . .