《一线名师指点高考之数列1.doc

一线名师指点07高考 数列1 【】 Sn=a1+a2+…+an。 4．数列的分类 （1）按项分类 有穷数列：项数有限；无穷数列：项数无限。 （2）按an的增减性分类 递增数列：对于任何n∈N*，均有an+1＞an； 递减数列：对于任何n∈N*，均有an+1＜an； 摆动数列：例如：－1，1，－1，1，…； 常数数列：例如：6，6，6，6，…； 有界数列：存在正数M使|an|≤M，n∈N*； 无界数列：对于任何正数M，总有项an使得|an|＞M。 5．递推是认识数列的重要手段，递推公式是确定数列的一种方式，根据数列的递推关系写出数列。 3．2 等差数列 1．等差数列的概念 若数列{an}从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则数列{an}叫等差数列。 2．通项公式：an=a1+（n－1）d， 推广：an=am+（n－m）d。 变式：a1=an－（n－1）d，d=，d=，由此联想点列（n，an）所在直线的斜率。 3．等差中项：若a、b、c成等差数列，则b称a与c的等差中项，且b=；a、b、c成等差数列是2b=a+c的充要条件。 4．前n项和：Sn==na1+d=n·an－（n－1）nd。 变式：===a1+（n－1）·=an+（n－1）·（－）。 3．3 等比数列 1．定义 数列{an}从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列。常数叫公比。 2．通项公式：an=a1qn－1， 推广形式：an=amqn－m。 变式：q=（n、m∈N*）。 3．前n项和Sn= 注：q≠1时，=。 4．等比中项：若a、b、c成等比数列，则b为a、c的等比中项，且b=±。 5．三个数或四个数成等比数列且又知积时，则三个数可设为、a、aq，四个数可设为、、aq、aq3为好。 6．证明等比数列的方法：（1）用定义：只需证=常数；（2）用中项性质：只需an+12=an·an+2或=。 3．4 等差数列与等比数列的综合问题 （一）等差、等比数列的性质 1．等差数列{an}的性质 （1）am=ak+（m－k）d，d=。 （2）若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{λan+b}（λ、b为常数）是公差为λd的等差数列；若{bn}也是公差为d的等差数列，则{λ1an+λ2bn}（λ1、λ2为常数）也是等差数列且公差为λ1d+λ2d。 （3）下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m，…组成的数列仍为等差数列，公差为md。 （4）若m、n、l、k∈N*，且m+n=k+l，则am+an=ak+al，反之不成立。 （5）设A=a1+a2+a3+…+an，B=an+1+an+2+an+3+…+a2n，C=a2n+1+a2n+2+a2n+3+…+a3n，则A、B、C成等差数列。 （6）若数列{an}的项数为2n（n∈N*），则S偶－S奇=nd，=，S2n=n（an+an+1）（an、an+1为中间两项）； 若数列{an}的项数为2n－1（n∈N*），则S奇－S偶=an，=，S2n－1=（2n－1）an（an为中间项）。 2．等比数列{an}的性质 （1）am=ak·qm－k。 （2）若数列{an}是等比数列，则数列{λ1an}（λ1为常数）是公比为q的等比数列；若{bn}也是公比为q2的等比数列，则{λ1an·λ2bn}（λ1、λ2为常数）也是等比数列，公比为q·q2。 （3）下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m，…组成的数列仍为等比数列，公比为qm。 （4）若m、n、l、k∈N*，且m+n=k+l，则am·an=ak·al，反之不成立。 （5）设A=a1+a2+a3+…+an，B=an+1+an+2+an+3+…+a2n，C=a2n+1+a2n+2+a2n+3+…+a3n，则A、B、C成等比数列，设M=a1·a2·…·an，N=an+1·an+2·…·a2n，P=a2n+1·a2n+2·…·a3n，则M、N、P也成等比数列。 （二）对于等差、等比数列注意以下设法： 如三个数成等差数列，可设为a－d，a，a+d；若四个符号相同的数成等差数列，知其和，可设为a－3d，a－d，a+d，a+3d。三个数成等比数列，可设为，a，aq，若四个符号相同的数成等比数列，知其积，可设为，，aq，aq3。 （三）用函数的观点理解等差数列、等比数列 1．对于等差数列，∵an=a1+（n－1）d=dn+（a1－d），当d≠0时，an是n的一次函数，对应的点（n，an）是位于直线上的若干个点。当d＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d=0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数。 若等差数列的前n项和为Sn，则Sn=pn2+qn（p、q∈R）。