【2017年整理】§3 MMs排队模型.doc

第 PAGE 34 页 共 NUMPAGES 35 页 §3 M 一、单服务台模型(即M/M/1/?/? 或 M/M/1) 到达间隔: 负指数(参数为:到达率)分布; 服务时间: 负指数(参数为:服务率)分布; 服务台数: 1; 系统容量: 无限; 排队长度(客源): 无限; 服务规则: FCFS. 1. 队长的分布 设 为系统平稳后队长的概率分布, 则由 (1) , (累积服务率) (2) (无客的概率) (3) , (有客的概率) 及,和,, 并记 (服务强度, 一般) 可得 , 故有 , 其中 . 因此 ,. 无客的概率: , 至少有一客的概率?服务台处于忙的概率=繁忙程度(即服务强度)=服务机构的利用率 如单位时间,, ,则,即40%在忙. 2. 几个主要指标 (1) 系统中平均顾客数=平均队长 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 (2) 系统中等待的平均顾客数=平均排队长 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . 可以证明(见第二版P328的注释) 在M/M/1中, 顾客在系统中逗留时间 EMBED Equation.DSMT4 服从参数为 EMBED Equation.DSMT4 的负指数分布, 即 密度分布函数: 分布函数: 于是得 (3) 在系统中顾客平均逗留时间 ; (4) 在队列中顾客平均等待时间 因为 逗留时间=等待时间+服务时间, 即 故, 从而得 另外还可得到(时间与空间关系): 和 这两个常称为Little公式. 各公式可记忆如下: 由和?服务效率, 从逗留时间?等待时间 队长?排队队长或 还可导出关系 和 3. 服务机构的忙期和闲期分析 (1) 因为 忙期=至少一客的概率, 闲期=无客的概率 ?忙期时间长度/闲期时间长度= (2) 因为 忙闲交替,次数平均?平均忙期时间长度/平均闲期时间长度=?. (3) 又由分布无记忆性和到达与服务相互独立性 ?任闲时刻起,下一客到达间隔仍为负指数分布 ?平均闲期=下一客到达间隔? ?平均忙期= 即顾客平均逗留时间, 实际意义是明显的. 例1 一个铁路列车 HYPERLINK \l 百度知道 编组站, 设待编列车到达时间 间隔负指数分布, 平均到达率2列/h; 编组时间服从负指数分布, 平均20min 可编一组. 已知编组站上共有2股道, 当均被占用时, 不能接车, 再来的列车只能停在站外或前方站. 求 (1) 在平稳状态下系统中列车的平均数; (2) 每一列车的平均停留时间; (3) 等待编组的列车的平均数. 如果列车因站中的2股道均被占用而停在站外或前方站时, 每列车的费用为a元/h, 求每天由于列车在站外等待而造成的损失. 解 这里 ,, (1) 列车的平均数 (小时) (2) 列车的平均逗留时间 (小时) (3) 等待编组的列车平均数 (列) (4) 等待编组时间 (小时) (5) 记列车平均延误(2道满,不能进站)时间为,则 (小时) 故每天列车由于等待而支出的平均费用 (元). 例2 某修理店只有一个修理工, 来修理的顾客到达过程为Poisson流, 平均4人/h; 修理时间服从负指数分布, 平均需要6 min. 试求: (1) 修理店空闲的概率; (2) 店内恰有3个顾客的概率; (3) 店内至少有1个顾客的概率; (4) 在店内的平均顾客数; (5) 每位顾客在店内的平均逗留时间; (6) 等待服务的平均顾客数; (7) 每位顾客平均等待服务时间; (8) 顾客在店内等待时间超过10min的概率. 解这里 ,, (1) 修理店空闲的概率 (2) 店内恰有3个顾客的概率 (3) 店内至少有1个顾客的概率 (4) 在店内的平均顾客数 (人) (5) 每位顾客在店内的平均逗留时间 (6) 等待服务的平均顾客数 (人) (7) 每位顾客平均等待服务时间 (8) 顾客在店内等待时间超过10min的概率. . 二、多服务台模型(即M/M/s/?/? 或 M/M/s) 到达间隔: 负指数(参数为:到达率)分布; 单台服务时间: 负指数(参数为:服务率)分布; 服务台数: s; 系统容量: 无限; 排队长度(客源): 无限; 服务规则: FCFS. 数据分析 设 为系统平稳后队长的概率分布, 则 和系统的服务率 记, 则当时, 不至越排越长, 称为系统的服务强度或服务机构的平均利用率. 由前面的(1),(2)和(3)公式得 故 其中 . 当时