华杯赛辅导初二-第二讲-分式的化简与求值.doc

华杯赛辅导初二第二讲分式的化简与求值

分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值．

一、内容提要

除式含有字母的代数式叫做分式。分式的值是由分子、分母中的字母的取值确定的。

(1)分式中，当B≠0时有意义；当A、B同号时值为正，异号时值为负，反过来也成立．分子、分母都化为积的形式时，分式的符号由它们中的负因数的个数来确定．

(2)若A、B及都是整数，那么A是B的倍数，B是A的约数．

(3)一切有理数可用来表示，其中A是整数，B是正整数，且A、B互质．

分式的运算及恒等变形有一些特殊题型，要用特殊方法解答方便．

二、典型例题

例1x取什么值时，分式的值是零？是正数？是负数？

30-1-2解：＝

3

0

-1

-2

以零点－2，－1，0，3把全体实数分为五个区间，标在数轴上（如上图）

当x=－1,x=3时分子是0，分母不等于0，这时分式的值是零；

当x－2,－1x0,x3时，分式的值是正数（∵负因数的个数是偶数）

当－2x－1,0x3时，分式的值是负数（∵负因数的个数是奇数）

例2m取什么值时，分式的值是正整数？

解：＝＝2＋

当＞－2且m－1是9的约数时，分式的值是正整数

即m－1＝1，3，9，－9解得m=2,4,10,－8．答：（略）

例3计算＋－－．

解：用带余除法得，原式＝1＋＋1＋－1－－1－

＝＋

＝＋＝．

例4已知（a+b）∶(b+c)∶(c+a)=3∶4∶5．求①a∶b∶c；②．

解：设a+b=3k,则b+c=4k,c+a=5k,全部相加

得2（a+b+c）=12k,即a+b+c=6k,分别减上列各式

得a=2k,b=k,c=3k

∴①a∶b∶c=2∶1∶3；②＝＝．

例5一个两位数除以它的两个数位上的数字和，要使商为最小值，求这个两位数；如果要使商为最大值呢？

解：设这个两位数为10x+y，那么0＜x≤9,0≤y≤9

＝1＋

当x取最小值1，y取最大值9时，分式的值最小；当x取最大值9，y取最小值0时，分式的值最大．

答：商为最小值时的两位数是19，商为最大值时的两位数是90。

例6化简分式：．

分析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多．

＝［(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)］

说明本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式．

例7化简分式：．

并求当a=2时的值．

分析与解先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，

可将分式分步通分，每一步只通分左边两项．

例8若abc=1，求的值．

分析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法．

解法1因为abc=1，所以a，b，c都不为零．

解法2因为abc=1，所以a≠0，b≠0，c≠0．

例9化简分式：．

分析与解三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简．

说明

互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧．

例10化简计算(式中a，b，c两两不相等)：．

似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为(a-b)(a-c)，而分子又恰好凑成(a-b)+(a-c)，因此有下面的解法．

解

说明本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用

例11已知：x+y+z=3a(a≠0，且x，y，z不全相等)，求

的值．

分析本题字母多，分式复杂．若把条件写成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0，那么题目只与x-a，y-a，z-a有关，为简化计算，可用换元法求解．

解令x-a=u，y-a=v，z-a=w，则分式变为

u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0．

由于x，y，z不全相等，所以u，v，w不全为零，所以u2+v2+w2≠0，从而有

说明从本例中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算过程简化．

例12化简分式：．

例13若，求分式的值．

适当变形，化简